PROPRIÉTÉS ARITHMÉTIQUES ET ALGÉBRIQUES

Relations entre les éléments d'un carré magique. — Règle pour le carré de 3. ~ Opérations possibles sur les carrés. — Résultats de ces opérations. — Transformations de certains types par déplacement des multiples de la racine. — Traductions algébriques des propriétés des ûgures magiques sur l'échiquier. — Données diverses.

La recherche des condilions que doivent remplir n^ nombres entiers pour pouvoir être disposés en carré magique de racine n conduit à reconnaître, d'une façon générale, de nombreuses solutions au problème.

Ces conditions sont satisfaites, en particulier, lorsque les n^ nombres, de grandeur absolue quelconque, égaux ou inégaux, d'ailleurs positifs ou négatifs, appartiennent à une même progression arithmétique ou à un système de progressions arithmétiques de même raison, d'un même nombre de termes, ceux de même rang formant encore entre eux une progression arithmétique. Dans ce dernier cas, le nombre de systèmes de progressions possibles dépend de la grandeur, de la nature et, en particulier, des sous-multiples de la racine et de leurs différents produits.

Ainsi, pour former un carré magique avec 36 nombres, il suffît, par exemple, que ces nombres appartiennent à i seule, 2, 3, 6, 12 ou 18 progressions arithmétiques remplissant les conditions requises.

Les carrés magiques des figures 5i à 56 correspondent successivement aux groupes suivants de 36 nombres :