CHAPITRE I. — PROPRIÉTÉS ARITHMÉTIQUES ET ALGÉBRIQUES
6** Dix-huit progressions {fig. 56):
I, 2; 4» 5; 7. 8; 10, 11; ...; b'i^ 53; I, 4j 7i''«» 52 progression aritlimélique déraison 3.
En remarquant que la progression unique n'est qu'un cas particulier des systèmes possibles de progressions, puisqu'elle équivaut à n groupements réduits à un seul terme, on voit que // étant premier il n'y a qu'une forme possible de ce genre.
En particulier pour /i == 3 on peut énoncer la règle suivante qui se démontre directement (Lucas, Tablettes du Chercheur y 1891 ),
Neuf nombres ne peuvent former un carré magique que s'ils appartiennent à 3 progressions arithmétiques de même raison dont les termes correspondants sont encore en progression arithmétique y ou, ce qui revient au même, dont le premier terme de l'une d'elles soit égal à la demi-somme des premiers termes des deux autres.
Toutefois les n^ nombres d'un carré magique peuvent avoir entre eux des liens moins évidents, tels ceux du carré de 6 de la figure 07 formé avec les éléments suivants, dont 3 répétés deux fois :
I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, II, 12, 12, i3, i5, 16, 17, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 3o, 32, 34, 35, 36, 37, 39, 54, 56, 62, 63.
Fig. 07.
Zh
Nous ne nous occuperons, d'ordinaire, que des carrés construits avec la progression naturelle des nombres entiers consécutifs pour lesquels la constante, déterminée par la somme de tous les éléments divisée par la racine, est égale à
l> = „li:
