DEUXIÈME PARTIE. — PROPRIÉTÉS DES GARHÉS MAGIQUES

Les propriétés que nous allons énoncer vont d'ailleurs faire comprendre qu'ils sont, en réalité, les générateurs de tous les autres.

On peut évidemment, sur tout carré magique, effectuer les opérations suivantes sans altérer la magie :

I** Augmenter ou diminuer tous les éléments dune même quantité;

Comme conséquence introduire un ou plusieurs termes nuls, des éléments négatifs, faire même la constante nulle, ce qui est sans inconvénients ;

2** Multiplier ou diviser tous les éléments par une même quantité;

3" D'une façon générale, faire sur un carré magique toutes les opérations avant comme effet final d'augmenter ou de diminuer les lignes, colonnes et diagonales simultanément de la même quantité.

Ainsi modifier, dans le même sens, en plus ou en moins, n nombres sur /i^, à condition qu'ils soient choisis un sur chaque ligne, colonne et diagonale.

Modifier x séries de n nombres, par des opérations du même genre dans chaque série et différentes de l'une à l'autre si l'on veut, à condition toujours que les n éléments modifiés par série soient pris un sur chaque ligne, colonne et diagonale.

Par exemple, le carré magique de la figure 67 (c= i4o) n'est autre que celui de la figure 5i (c= iii) dans lequel les nombres des cases n"" 1, H, 14, 24, 27, 34 ont été augmentés de 36 tandis que ceux des cases n*'* 6, 8, 17, 19, 28, 33 ont été diminués de 7, ce qui a eu pour effet d'augmenter la constante primitive 1 1 1 de la différence 36 — 7 = 29.

De même le carré de la figure 12 (c = 90) donne celui de la figure 45 (c = 65) en réduisant d'abord tous les éléments de 4 et de 5, ensuite les nombres placés dans les cases n"* 1,9, 12, 20, 23 du carré magique intermédiaire.

4" On peut aussi, en vertu de la règle générale, énoncée précédemment, additionner ou retrancher l'un de Vautre les termes correspondants de deux carrés magiques de même racine.

Parmi toutes les opérations qui ne détruisent pas la magie d'un carré donné, les unes conduisent à la construction de carrés de même racine mais à éléments différents, les autres, plus intéressantes, donnent de nouvelles dispositions, en carré magique, des mêmes éléments conservés.

Si l'on remplace, par exemple, dans le carré diabolique de la figure 58