DEUXIÈME PARTIE. — PROPHIÉTÉS DES CARRÉS MAGIQUES

a pu s'en rendre compte par les exemples qui précèdent, de nombreuses variantes de carrés de toutes racines, paires et impaires, en partant des types simples à magie complémentaire, surtout si on les combine entre elles et avec celles antérieurement décrites et qui leur sont également applicables : échange des quartiers opposés, permutations des rangées symétriques, etc.

Indiquons encore une autre méthode de transformation applicable d'abord à certains types de cette famille dans lesquels, par complément de magie, deux lignes de cases, égales entre elles, parallèles aux diagonales, contiennent chacune — nombres dans ceux de racine paire,

dans ceux de racine impaire, donnant ensemble, avec le nombre de la case centrale dans ce dernier cas, une somme égaie à la constante {demicondition du semi'diabolisme).

On peut alors faire subir aux quartiers les opérations indiquées schématiquement par les figures 107, 108, 109.

Fig.

Fig.

io8j^

Fig. 109.

Le carré A'B'C'D' se compose des quatre quartiers du primitif ABCD, qui ont subi :

Quartier 3 : deux rotations successives de 90 ' = 3'.

Quartiers 2 et 4 • des retournements simples (positions symétriques) = 2', 4^

Quartier i , conservant seul sa position.

Dans le carré A^'B^'CD", autre variante, le quartier 3 est seul resté dans sa position primitive; les autres ont subi des opérations du même genre que précédemment.

On peut observer que les premières diagonales ont été conservées et que les deuxièmes se composent précisément des nombres primitivement écrits sur les deux lignes complémentaires égales de ABGD.

Pour les carrés impairs, l'opération doit se compléter par le retourne-