PKOPKIÉTÉS PARTICULIÈRES AUX CARRÉS MAGIQUES SINGULIERS

Groupements indépendants, autres que ceu^ sur lesquels repose la classi-^ ûcation des carrés. — Leur effet. — Méthode de transformation des carrés de 4 par enroulement ou déroulement des quartiers. — Répartition des éléments, en particulier des nombres complémentaires. — Exemples divers. — Carrés magiques centrés. — Échange spécial dea quartiers dans les carrés de 4 centrés.

Toutes les propriétés géométriques que nous venons d'étudier, au chapitre précédent, relatives à chacun des types de notre classification des carrés magiques découlent précisément deTexistence, sur chacune de ces figures, des groupements spéciaux déterminant, par définition, leur attachement à telle ou telle famille.

Or nous avons déjà pris soin de faire remarquer, notamment sur ie carré diabolique de 4 {/'ff- i8), qu'en outre de ceux observés il existe d'autres groupements indépendants, de n nombres, à somme constante, épars sur la figure, concourant au même titre à lui donner les propriétés spéciales et dont l'étude ne doit pas être négligée si l'on veut pénétrer plus avant le secret de sa magie totale.

D'ailleurs ces groupements supplémentaires jouissent parfois, entre eux^ de rapports d'ordre et de symétrie tels qu'ils donnent lieu, pour leur compte, à des remarques analogues à celles que nous avons faites et comme conséquence permettent de transformer la figure par de nouvelles méthodes et d'en déduire des variantes différentes de celles obtenues sans leur concours.

Ainsi, grâce à ceux qu'on peut observer sur tout carré semi-diabolique et diabolique de 4? îl est possible de construire un grand nombre de variantes de ces types en transportant méthodiquement sur les lignes et les colonnes les nombres groupés dans chacun des 4 quartiers développés successivement ou, par un procédé inverse, en constituant les quartiers d'un nouveau carré magique avec les éléments des lignes ou des colonnes

€RAP1TRE III. — PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES AUX CARRÉS MAGIQUES SINGULIERS. 53

successives du premier. Dans ce dernier cas, le carré originel {^fig* i49) donne d'abord celui (yi*^. i5o) dont les quartiers i, 2, 3, 4 correspondent respectivement aux lignes 1, 2, 3, 4 du précédent.

En répétant la même opération on obtient encore les variantes {fis* i5i, i52), une quatrième transformation reproduisant le carré primitif.

Fig

ii9-

Fi g. i5o.

Fig. i5i

Fig. i52.

Cette méthode de transformation par enroulement ou déroulement des quartiers, spéciale aux carrés de 4 (diaboliques et semi-diaboliques), que nous venons de pratiquer en orientant les opérations par rapport au côté AB {Jig* 149) peut d'ailleurs fournir d'autres variantes correspondant aux autres côtés de la figure.

Suivant BC, par exemple, on obtiendra successivement les variantes {fig. i53, i54, i55).

Fig. i53.

Fig. f54.

Fig. i55.