PREMIÈRE PARTIE. — LES FIGURES DE NOMBRES SUR l'ÉGHIQUIER

de l'échiquier par un numéro d'ordro qui sera précisément le nombre correspondant de la figure 2.

Constatons, toutefois, que l'étude plus approfondie de cette figure nous ferait entrevoir, mieux encore, la nécessité d'une analyse spéciale géométrique capable d'exprimer les rapports de position et d'ordre des nombres considérés.

Cette géométrie particulière, désirée et créée par l'illustre philosophe et savant Leibniz pour exprimer directement {di position comme l'Algèbre exprime la grandeur, est la géométrie de situation étudiée par Euler et, après lui, par de nombreux mathématiciens.

Avec les seize premiers nombres de la figure i, nous aurions pu, au hasard de l'inspiration, mais cependant avec un souci intéressé de l'ordre, garnir immédiatement d'autres façons curieuses les seize cases de l'échiquier : en écrivant, par exemple, la suite des nombres horizontalement, mais de deux en deux cases {Jig* 3), ou encore par groupes de quatre,

Fig. 3.

Fig. 4.

Il II II n %, 16 48 20 52 ^*

Il il II II "^^ 34 34 34 34 24

aux quatre angles de l'échiquier {Jig* 4)? et faire de nouvelles constatations intéressantes sur chacune de ces figures.

Nous aurions pu, d'ailleurs, avec du temps et de la patience, arriver à construire toutes les figures possibles, grâce à l'analyse combina toire, et nous livrer ensuite à une observation type par type ; mais il est évident que la recherche, parmi tous les échiquiers garnis, de ceux pouvant présenter certaines propriétés serait fort longue et deviendrait impraticable, étant donné le nombre de dispositions pour /i* plus grand.

Les considérations qui précèdent conduisent tout naturellement au désir d'une méthode d'investigation plus parfaite qu'on devine, empruntant à la fois les ressources de l'Arithmétique, de l'Algèbre et de la Géométrie de situation, qui permette non seulement de composer avec n^ nombres quelconques toutes les figures possibles, sur un échiquier de n^ cases, et

CHAPITRE II. — DÉFINITION. NOTATION. CLASSIFICATION DKS CARRÉS MAGIQUES. 9

d'en fixer le nombre, mais de les classer et de les dénombrer par familles de types présentant les mêmes propriétés. Méthode qui permettrait aussi de prévoir les différents types, comme conséquence de telle ou telle nature, de telles ou telles grandeurs de nombres, ainsi que de leurs divers arrangements ; enfin de les reconnaître et de les reproduire à volonté, au moyen de règles particulières à chaque sorte.

L'idée de cette méthode conduit à l'imaginer plus parfaite encore, s'appliquant aux généralisations plus vastes du problème envisagé sur des réseaux de cases quelconques plans ou courbes, simples ou composés, renfermant des nombres soumis à toutes les relations possibles de grandeur d'ordre et de position.

Bien avant même que les premiers principes d'une méthode rationnelle aient été fixés, quelques figures obtenues d'abord sur un petit nombre de cases, ensuite par analogie sur des réseaux plus grands, se sont fait remarquer par leurs propriétés particulièrement curieuses et attrayantes. Au nombre de celles-là sont les carrés magiques, dont nous allons nous occuper spécialement, laissant aux mathématiciens autorisés le soin de solutionner le vaste problème de l'échiquier, tel que nous l'avons posé, et de nous faire connaîtra d'autres figures peut-être plus merveilleuses encore.