C^SOS

^th

Fiig. 2)0.

kO

kl

Pour cette disposition spéciale des permutations affectant des bandes complètes comme on peut choisir deux bandes à gauche de

/ixr«« I.a.3.4.5 ., ,.^,

Vf^l = : TT = 10 manières différentes

et une bande à droite de CJ = 5 manières différentes, on voit que le carré

( ^ ) CjJi combinaisons de m objets pris « à /i = -

CBAPITRB II. — MÉTHODE DU CARRÉ GUIDIT. Ql

guide {fig- 238) peut conduire pour ce seul cas particulier à lo X 5 =: 5o variantes du carré semi-magique.

Comme ce carré guide lui-même peut s'écrire de huit manières différentes, puisqu'on peut, à volonté, donner à ses quartiers composants, toujours sur le même modèle y huit aspects divers (positions de rotation et symétrie), on est conduit à entrevoir déjà pour un seul genre particulier

8 X 5o = 4oo dispositions.

Ces 4oo dispositions pouvant, en outre, prendre chacune, pour la même raison, 8 positions différentes.

Le nombre total des dispositions auxquelles pourrait conduire l'application de notre méthode à un seul type de carré guide pour /i = lo est d'ailleurs facile à évaluer.

En effet, il est possible de modifier deux nombres à la fois sur les cinq lignes horizontales des quartiers « gauche » de

[1 2.3.4.5 "1* — ' ' * .^ I = 10» = 100000 manières diiïérentes

et de modifier un nombre à la fois sur les cinq lignes horizontales des quartiers « droite » de

(GJ)»= 5*= 3 125 manières différentes.

Le nombre de carrés semi-magiques (parmi lesquels ceux devenus carrés magiques, comme nous allons le voir) résultant de toutes les combinaisons possibles est par suite égal à

3 125 X 100 000 = 3 ri 5oo 000,

nombre qui peut être porté à 8 x 3i 2600000 = 2600000000 par les huit transpositions du carré guide d'après celles des quartiers et enfin à 8X2600000000 = 20000000000 en faisant prendre à chacun de ces derniers ses huit positions possibles.

Pour n = 6, A: = 3, ces nombres se réduisent à