CHAPITRE m. — FIGURES MAGIQUES DIVERSES
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Violle poursuivant cette même voie a composé aussi un grand nombrede figures du même genre mais sans grand intérêt.
Nous dirons seulement quelques mots des carrés magiques à enceinte^ ou à bordures, les plus intéressants de tous, inventés par Frénicle et utilisables pour la construction, en général, de tous les carrés magiquesde racine > 4-
Une figure de ce genre comprend un noyau intérieur carré magique de plus petite racine et un cadre, ou enceinte, constitué par une ou plusieurs, bordures; chaque bordure étant formée par deux bandes horizontales et deux bandes verticales de cases.
La propriété fondamentale de ces carrés est dès lors évidente : c*est qu'ils ne cessent pas d'être magiques quand on leur enlève la bordure extérieure, et successivement deux, trois, etc. bordures, voire mêmetoute l'enceinte, jusqu'à ce qu'il ne reste plus que le carré intérieur de 9. ou de 16 cases.
On voit, de plus, qu'en partant du carré de 3 comme noyau, on pourra construire successivement, avec 1 , 2,3, ... bordures, les carrés impairsde 5, 7, 9, ..., etc.
En partant du carré de 4? sivec l'addition de 1, 2, 3, ... bordures, les^ carrés pairs de 6, 8, 10, . . ., etc.
Les carrés à bordures réguliers {fig* 3 10) se construisent de lat façon suivante :
Fig. 3io.
(/? — 2)^ nombres moyens de la progression i, 2, 3, ..., /i^ sont employés à la construction du noyau intérieur (à l'aide d'un carrémagique quelconque de même grandeur) les 4 {^ — quî restent sont ensuite répartis dans les cases de bordure; deux couples de nombres, complémentaires doivent nécessairement occuper les angles et les autres, couples les mêmes bandes horizontales ou verticales.
TROISIÈME PARTIK.
(ONSTRUGTION DKS CARRÉS MAGIQUES
La nature et la grandeur de la racine déterminent d'ailleurs, dan:» chaque cas particulier, les positions possibles pour chacun de ces couples.
De la racine dépend naturellement le nombre de bordures différentes simples pouvant servir d'encadrement au noyau central.
On peut aussi construire des carrés à bordures irréguliers dans lesquels le nojau central est constitué par d'autres nombres que les moyens de la progression i, a, 3, . . ., n^ {fig* 3i i ) (d'après M. Frolow).
Fi g. 3 II.
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Dans tous les carrés à bordures on peut, sans inconvénient, donner a^i noyau central les huit positions de rotation et de symétrie; il en résulte autant de variantes dont le nombre se multiplie encore par toutes celles qui peuvent résulter des permutations possibles entre les couples composant des bordures.
On conçoit alors tout l'intérêt que présentent ces figures et comment elles peuvent être considérées, avec Frénicle, comme une véritable méthode de construction des cairés magiques, en général.
TABLEAU DES FIGURES, ui CARRÉS MAGIQUES RÉGULIERS ».
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Tableau indiquant par leur numéro de figure tous les carrés magiques réguliers contenus dans V Ouvrage.
