AVERTISSEMENT

Durant nos longues nuits du siège de Paris, et pendant les huit mois de canonnade que nous avons traversés, j'ai réfléchi parfois à la suite à donner à ma Théorie des Cristalloîdes géométriques. Un cahier, déjà paru, de Cristalloîdes complexes à sommet étoile dégénérant en solides imaginaires, et le présent Essai de Géométrie supérieure sont les résultats de mes réflexions souvent entravées par tant d'angoisses. Le champ qui s'ouvre à mes recherches est sans limites, puisque tout théorème plan se reflète dans l'onglet et se retrouve dans les assemblages en l'espace, qui constituent ce que j'ai appelé le Sjrstème cristalloïdaL Les solides de révolution sont un cas particulier du système cristalloidal , et les énoncés cristalloidaux les comprennent, si l'on convient que polygone comprend le cercle, et pyramide le cône.

Le présent Essai n'est qu'un premier Chapitre; d'autres chapitres pourront suivre celui-ci, et ces divers chapitres ne constitueront encore, à vrai dire, qu'une Introduction à la Géométrie supérieure des Cristalloides. Je ne présente, d'ailleurs, que des énoncés, puisque la démonstration primitive est affaire de Géométrie plane. Les savants professeurs et les amateurs versés dans la Géométrie trouveront beaucoup à reprendre dans ma rédaction ; en effet, par suite de diverses circonstances, je n'ai pas pu m'arrêter aux détails autant que je l'aurais voulu. Néanmoins c'est avec un véritable intérêt que je vois mentalement s'élever dans l'espace les figures répondant à mes théorèmes, et l'élégance de ces visions géométriques donne aux constructions cristalloidales que l'on obtient en faisant polygoner, si l'on me passe cette expression, les figures planes autour d'un axe vertical, un attrait que n'a pas la sécheresse des figures planes, et n'a même pas la figure de révolution. J'ai la confiance que les lecteurs qui auront pris la peine d'étudier l'ensemble de mes publications jugeront que les cristalloides et leurs propriétés, variées à l'infini, méritent de prendre place dans la Science à titre de transformation spéciale, de polygonisation , on pourrait dire de cristallisation des théorèmes plans.

Comme explication générale de la grande

planche jointe à la présente brochure, on ne saurait mieux faire que de reproduire ici un article de M. Housel, article qui a été inséré dans les Nouvelles Annales de MM. Gerono et Brisse. Je demande à ces trois savants géomètres la permission de leur exprimer ici tous mes remercîments.

EXTRAIT DU VOLUME DE iS^S, PAGE l35.

L'auteur (M. Hugo) a publié sur cette théorie (les cristalloïdes géométriques) trois brochures dont la dernière date de 187^. U y a été conduit, comme le nom Tindique, par les considérations de la minéralogie; aussi, malgré ce qu'elles ont d'essentiellement théorique, il ne faut pas les regarder comme des abstractions ne pouvant fournir d'applications pratiques. M. L. Hugo fait observer qu'une foule de monuments publics, d'œuvres d'art de toute espèce, sont construits d'après les règles qu'il donne, et queT instinct artistique avait devinées; la théorie pourra, sans doute, développer la pratique.

Un cristalloïde est formé par l'assemblage de plusieurs onglets de même formule : aussi l'auteur commence-t-il par définir l'onglet, dont on peut se faire une idée par le solide qui porte ce nom à propos de la sphère. On y considère un axe analogue au diamètre de la sphère et une courbe appelée directrice comme dans tout le mouvement.

Les volumes des onglets se mesurent au moyen d'un nombre appelé coefficient, qui multiplie le produit de la hauteur prise sur l'axe, par la base de l'onglet, pour obtenir ce volume. Comme exemples de coefficients connus, nous citerons \ pour la pyramide et \ pour le problème d'Archimède.

Ce qui précède s'étend aux cristalloïdes, puisque un cristalloïde se compose d'onglets de même nature.

L'auteur donne aux cristalloïdes dont les onglets sont concaves vers l'axe le nom de domoïdes, et à ceux dont les onglets

sont convexes le nom de trémoïdes; par conséquent les trois

courbes du second degré, prises comme directrices, donne- i

ront des ellidomoïdes, des hyperdomoïdes et des parado-

moïdes, etc. Dans le cas particulier d'une ellipse à axes égaux,

c'est-à-dire d'un cercle, on emploie les mots à! équidomoïdes

et à* équitrémoïdes , 1

Les cristalloïdes complexes à sommet étoile, dont l'auteur s'occupe dans sa dernière brochure, le coiiduisent à ce qu'il appelle les solides imaginaires, dont il nous reste à parler^ du reste on peut en donner l'idée d'une manière directe.

Concevons, par exemple, un rectangle tournant autour de l'un de ses côtés, et l'extrémité de l'autre décrivant une circonférence divisée en six parties égales; il est clair que le solide décrit sera un cylindre; mais si, à la fin de chaque division, on imagine le rectangle générateur anéanti, pour ne reparaître qu'au commencement de la suivante, on aura ainsi, au lieu d'un cylindre complet, un solide composé de trois parties pleines et de trois parties vides. Au lieu de cela, si l'on considère le rectangle générateur comme n'existant i.

qu'aux six divisions, on aura un solide complètement imaginaire, c'est-à-dire ne se composant que de ces divisions rectangulaires dans le cylindre : aussi l'auteur dit-il que les feuillets d'un livre ouvert et placé verticalement donnent une idée de ce dont il s'agit.

Enfin, au lieu de faire disparaître et reparaître périodiquement la surface génératrice, nous pouvons la supposer modifiée suivant certaines lois.

En résumé, nous voyons que ces travaux présentent beaucoup d'originalité en théorie ; de plus, la théorie des cristal- ^ loïdes a offert déjà et offrira encore une foule d'applications pratiques à propos des formes employées dans les arts et dans la construction des édifices publics, dont plusieurs sont bien connus.

ESSAI

SUR LA GÉOMÉTRIE

DES CRISTALLOÎDES.