POLYGONISATION DES THÉORÈMES DANS L'ESPACE
Que Ton examine les luminaires à trois, quatre ou cinq branches en forme de rinceaux (d'ailleurs planes), suspendus dans les salles publiques, et Ton comprendra immédiatement ce que j'entends par faire poiygoner une figure plane dans Fespace.
On obtient ainsi, en considérant tous les points homologues comme reliés par des droites horizontales, une figure d'assemblage dans laquelle toutes les lignes droites de la figure donnée deviennent des pyramides (généralement à deux nappes), ayant leur sommet sur l'axe commun vertical; les courbes données deviennent des surfaces cristalloidales et les points de la figure plane deviennent des polygones, dont le plan est évidemment perpendiculaire à l'axe commun précité, autour duquel, en volume, tous les onglets sont assemblés.
Gela revient à considérer l'ensemble linéaire donné, la figure du théorème plan, comme servant de directrice au mouvement d'une orthogonale décrivant un cylindre multiple, et k détacher sur ce cylindre un onglet. L'assemblage d'onglets de cette nature (et de ceux que l'on obtiendrait sur l'ensemble primitif comme base, en y faisant varier, dans une même proportion,
toutes les ordoDoées perpendiculaires à la ligne future d'assemblage) donne dans l'espace une figure reproduisant dans divers azimuts le dessin primitif.
On voit que, dans tout ce qui va suivre, les sections droites, par rapport k Taxe principal, sont des polygones semblables etsemblablement placés.
Des rapports de position existant dans la figure ou le théorème plan, on déduira des rapports analogues entre les parties, énoncées plus haut, dans l'espace. Les tangentes aux courbes donneront des pyramides tangentes aux cristalloîdes. Les points singuliers deviendront des polygones singuliers, etc. ; et sous la réserve établie dans l'alinéa précédent, on pourra rédiger les théorèmes de transformation cristalloïdale, dont le champ est d'ailleurs illimité.
Je me bornerai a inscrire, comme exemples, trois énoncés se rattachant, les deux premiers au théorème de Newton, le troisième à celui de Gcrgonne :
< Dans un ensemble de quatre pyramides (coaxiales, etc.), circonscrit a un coni-cristalloide, la pyramide passant par les polygones milieux des plans diagonaux intérieurs passe aussi par le polygone centrique du cristalloide (le polygone répondant aux centres des coniques directrices). >
c Tous les coni-cristalloides inscrits dans un ensemble de quatre pyramides ont leurs polygones centriques sur une même pyramide. >
« Dans un ensemble tripyramidal Â, B, G, circonscrit a un coni-cristalloIde, la pyramide passant par le polygone milieu de la pyramide A et par le polygone milieu de la nouvelle pyramide joignant le polygone de contact de  au polygone de croisement de B et de C passe aussi par le polygone centrique du cristalloide. »
J'ai envisagé dans ce court Chapitre des figures directrices quelconques et supposées compliquées; mais, en
simplifiant et en se donnant seulement pour directrices d'onglet des branches simples de courbe, on revient aux figures plus élémentaires et en particulier a la famille des sphéroïdes, que, dans le système cristallo'idal, on doit considérer toujours comme polygonaux en section normale (k Taxe). Voilà ce que j'appelle Pofygonisme infini.
Le polygonisme fini et tendant à l'accroissement étant la phase primordiale (i), selon moi, de toute Géométrie, il est essentiel de ne pas négliger les cas rares où , comme dans la polygonie cristalloîdale, il devient possible de saisir simultanément ( par l'élément intégrant qui est l'onglet) l'ensemble fini et infini, la figure polygonale et la figure courbe.
En résumé, la figure cristalloîdale dégénère en figure rotatoire : tout corps rotatoire est un cristalloide limite. Cette doctrine, d'ailleurs, serait essentielle pour les études architectoniques; telle est effectivement la morphologie vraie de la construction monumentale.
C'est dans cette voie que je pense arriver, avec le temps, à renouveler philosophiquement (et pratiquement) la Géométrie traditionnelle, en ce qui touche la sphère et les solides de révolution.
Pour moi, faire polygoner a pour limite faire tourner, etpolygonisation a pour limite révolution ou rotation.
(i) Foir mes brochures I et III, constituant une statistique des solides géométriques. Déjà, comme simple amateur de curiosités mathématiques, auteur de quelques Mémoires originaux (et très-originaux), j'ai fait parvenir la planche noire qui clôt le présent travail à TAcadémie des Sciences (voir Comptes rendus^ 187a), avec celte suscription : La Sphère est tin Équidomotde^ ou démonstration de la prééminence des figures polygonales.
