CRISTALLISATION DES THÉORÈMES DANS LTSPACE
Une autre Iransformation des figures» laquelle comprend les constructions prismato-cylindrique et pyramido-conique (directrices rectilignes), est celle qui prend pour axe cristalloîdal une droite quelconque perpendiculaire au plan de la figure donnée» et dont le pied pourra être intérieur ou extérieur a cette figure; si Ton construit alors un ensemble cristalloîdal à directrices quelconques» mais toujours isonômes» ayant les diverses parties de la figure pour bases» il existera entre les diverses parties du cristalloîde» ou entre les cristalloides partiels, les mêmes relations qu'entre les bases; relations soit de position (tangentes» osculatrices, etc.)» soit numériques d'aire à volume» en raison de Tidentité fondamentale du coefficient dans toutes les parties.
On pourra donc dire» pour commencer par le triangle de Pythagore (à tout seigneur tout honneur)» que :
€ Dans une figure cristalloïdale» construite sur un triangle rectangle et sur les carrés adjacents comme base» la solidité du cristal loide ayant le carré de l'hypoténuse pour base est équivalente k la somme des cristalloides construits sur les carrés des deux autres côtés. »
La Géométrie tout entière peut être ainsi passée en revue.
< Disons aussi (en souvenir d'Ârchimëde) que: c Si -
est le rapport de l'aire d'une courbe parabolique au rectangle des coordonnées» la solidité du cristalloide construit sur Taire parabolique sera - de celle du cristalloide construit sur le rectangle » .
< Si - est le rapport de Taire d'une spirale à Taire du
cercle concentrique» la solidité du cristalloide, construit sur le secteur spiral comme base» sera k celle du cristalloide ayant le cercle pour base dans le rapport -* etc. »
« L* Èquidomoïde est comme le Soleil; aveugle qui ne le voit pas f »
La Polygonie crisiallotdale vient refondre et renouveler, en la complétant» la Géométrie des anciens» au point de vue des solides; c*est une extension d'Archimède et d'Eudoxe» comme les Traités modernes de Géométrie supérieure sont une extension d'Apollonius et de Pappus. Basée sur le polygonisme oriental» cette théorie mériterait, plus que toute autre» la qualification de Géométrie primordiale et internationale (i), en employant certaines expressions à la mode; et je soutiens ici que la distinction entre le cristalloide et la pyramide est aussi fondamentale que la distinction entre la courbe d'une part et la ligne droite de l'autre.
Revenons à l'équidomoîde» que je tiens à signaler spécialement dans la grande planche noire insérée ci-après.
L'équidomoîde y occupe la quatrième ligne : c'est une figure circonscriptible» mais non inscriptible à la sphère; car ses arêtes courbes sont des ellipses; néanmoins la loi de courbure des faces est circulaire» la directrice étant un demicercle. Une figure inscriptible très-employée a pour arêtes des
(i) Des exemplaires de ma Morphologie géométrique ont été remis à tous les Membres de la Coimnission internationale du mètre de 1872, et ont été adressés aux diverses Académies, Sociétés d'Architecture et Universités de Pétersbourg, de Londres, etc., etc.
demi -cercles (c'est une sphère simplement polygonisée et alégie). Dans ce cas, les directrices médianes sont des ellipses ayant vu raccourcir leur axe horizontal. Cette figure est donc, bien que peu accusée, un ellidomoîde ovoîdal.
L'onglet composant de l'équidomoïde est un segment de cylindre. Cet onglet, et par suite la figure entière, possède élémentairement (i) les mêmes propriétés de volume et de surface que la sphère.
Comme polygonale, la figure que j'ai ainsi individualisée est réclamée par tout l'enseignement professionnel et industriel ; elle est destinée à supplanter la sphère I
En regard de l'école d'Archimède, régnante depuis deux mille ans, je place aujourd'hui une autre école, d'origine nfH>deste sans doute, mais aussi philosophique que pratique, laquelle se trouve conduite dans le domaine de la théorie géométrique à cette conclusion forcée, la suppression de la sphère; celle-ci n'est plus dans ma doctrine préarchimédienne qu'un équidomoîde limite I
Par l'étude de mes figures co-axiales à onglets azimutaux, j'ai été amené à remarquer que Ton pourrait établir des coordonnées azimu^ taies /(»,7) = o, en prenant respectivement pour abscisses et pour ordonnées dans un plan tournant , à position angulaire o>, les valeurs pe%qde'^ = p-^g /— I : ceci , de même que le x -h//— i d un excellent géomètre (M. Félix Lucas) ramène tout le plan sur une simple ligne, viendrait ramener tout Tespace sur un plan, le plan des abscisses vectrices/?, auquel Taxe est perpendiculaire en rorigine. Il y aurait quelque proGt à tirer de ces coordonnées azimutaiesy dans lesquelles les valeurs imaginaires de » restent seules sans interprétation.
(i) Foir les Cristalioïdes à directrice circulaire. GmihieT'YïWdJS] 1867.
