RÉSUMÉ DD SYSTÈME CRISTALLOÏDAL

La théorie des cristalloïdes est basée» comme od a pu* le voir dans mes précédentes publications, sur le polygonisme, principe suivant lequel on n'arrive aux types circulaires qu'après avoir étudié les propriétés géométriques des types polygonaux. Je prétends qu'il est in« dispensable, en théorie comme en pratique, de faire passer les figures polygonales les premières, ainsi que notre Géométrie traditionnelle le fait pour le prisme et la pyramide, qui précèdent toujours le cylindre et le cône; mais la Géométrie routinière et traditionnelle cesse, bien a tort, d'agir de même lorsqu'elle arrive à la sphère. Cependant le principe du polygonisme est tout accepté en Géométrie plane; aussi la Géométrie de Pouglet cristallo'idal me parait-elle être la vfaie théorie des solides géométriques dans l'espace.

Voici le texte d*uD article du Journal officiel (4 septembre 1873) qui résume trës-fidëlementt en quelques lignes, l'ensemble de ma Géométrie transeuclidienne ou cristalloidale :

c Dans une des dernières séances de l'Académie des Beaux-Arts, M. Léopold Hugo, membre de la Société mathématique, fondée à Paris depuis la guerre, a présenté à la section d'Architecture une théorie morphologique qu'il considère comme fondamentale. Cette théorie serait appelée, selon lui, à relier méthodiquement entre elles des figures polygonales qui sont fort employées dans les constructions même monumentales.

Ces figures dérivent de la pyramide, et, selon que le solide est ou plus ou moins massif que ce dernier corps , elles se divisent en domo'ides et en trémoïdes; si l'on augmente le nombre des faces, on arrive aux solides de révolution, comme on passe du prisme au cylindre.

La figure nouvelle, très-remarquable, qui engendre la sphère, a reçu le nom A'équidomo'îde. La célèbre coupole de Brunelleschi, qui couronne le dôme de Florence, est un équidomoîde. M. Hugo pense que la théorie de la sphère n'a pas une existence indépendante, et qu'elle est le simple corollaire géométrique de la théorie de Téquidomoide. Ses Mémoires ont été déjà présentés à l'Académie des Sciences, par le regretté M. Delaunay, directeur de l'Observatoire. >

Je vais maintenant présenter au lecteur Tes principales séries cristalloîdales, dont chacune forme, à mes yeux, comme un tout, morphologiquement et stéréométriquement indivisible.

La série est basée sur le principe suivant : cristal-

loïde ; solide de révolution ;; pyramide : cône :: polygone : cercle.

De même que le polygone est formé par l'assemblage de triangles, de même le cristalloide est produit par Tassemblage d'onglets de même formule, c'est-à-dire pris dans des figures cylindriques ayant pour bases ou sections droites des directrices de même nature entre elles (voir Théorie des cristalloîdes élémentaires^ chap. I).

L'onglet est ici, pour Tespace, Tboniologue du triangle dans un plan. La morphologie rattache par un lien apparent, la courbure méridienne, toutes les figures d'une même série, mais de plus leurs stéréoco-efiicients sont identiques; chaque série possède donc, en commun, un élément en quelque sorte psychologique.

Nous trouvons, en premier lieu, les ellidomoides. On y remarque trois catégories [voir planche II).

La catégorie moyenne constitue la famille de la sphère. L'équidomo'ide, le générateur rationnel de la sphère, se démontre par la Géométrie élémentaire; je reviendrai sur ce sujet.

Voici (planche III) un exemple de la figure dite ellitrémoîde : le nom de trémoîde apprend immédiatement que les faces, vues de l'extérieur de la figure, paraissent concaves et tendent à se rapprocher de Taxe.

Le paradomoïde, au contraire, redevient une figure surchargée par comparaison avec la pyramide normale. Aussi son coefficient propre est-il \\ ce nombre est bien remarquable, comme le nec plus ultra des formules simples; il y a la une des propriétés les plus curieuses de la parabole.

Dans la planche IV, on reconnaitra diverses séries de paratrémoïdes et un paradomoïde curieux par son coefficient qui est -^ ; le type rotatoire de cette série, d'apparence ogivale, porte, dans quelques auteurs, le nom de pyramicloîde, de même que certains trémoides rotatoires sont connus sous le nom de corbeilles, lors^ qu'on les envisage comme surface; au point de vue so« lide, ce sont plutôt des piédouches ou des poulies.

CrisUiUoides compkxes. — Au moyen du segment ( dit onglet surchargé) restant après l'enlèvement de l'onglet cristalloîdal supposé découpé dans un prisme triangulaire, on obtient, toujours par assemblage, des cristalloides complexes à sommet étoile; ces figures sont très-usitées, d'ailleurs, dans l'Architecture, comme combles et comme voûtes. Les cristalloïdes complexes, en polygonisme infini (type rotatoire), donnent ce que j'ai nommé les stéréo-imaginaires feuilletés ; on peut concevoir aussi des stéréo-imaginaires rayonnes, etc., etc., et enfin des pseudocristallo'ides, toujours divisés en domoides et en trémoïdes.

Qu'en pensez-vous, ô Conon, ô Dosithée, ô roi Gélon, les correspondants du maitre syracusain?

Après les cyclo-cristalloïdes (directrice circulaire) et les autres coni-cristalloldes (directrice : uae conique) se placeraient les cubi-cristalloïdes et les quarli-cristaU loïdes. • • •

Scion la nature des courbes composant \^ faisceau des directrices cristalloidalest on aurait encore les spiralocristallo'ides, les spiri, les concho, les cisso» les lemni, les caténo (*), les cycloî-cristalloïdes, etc., etc.

(*) La caténoïde ou chaînette est la direcirice la plus avantageuse, en théorie, pour la construction des grandes coupoles voûtées en pie re ou en brique.