Dans les pyramides complexes, les directrices sont
rectilignes, et ici comme pour les cristalloïdes normaux
la pyramide est intermédiaire entre les domoides et les
trémoïdes, mais le degré minimum de sa directrice la
fait passer avant ces derniers. Nous allons donc envisager
Fonglet de la pyramide complexe, et dans la figure de
construction {PL /), le lecteur voudra bien, pour ce cas
particulier, considérer toutes les parties comme recti-
lignes. Les assemblages réguliers de tels onglets occupent le haut de la première planche, avec une échelle assez grande pour qu'on puisse comprendre le mode d'assemblage des doubles onglets.
Soit donc la pyramide BCDE inscrite dans le prisme AB...GH, dont elle est le demi-tiers; d'autre part, la surcharge est une pyramide ABDE, également inscrite, et qui a pour solidité la même mesure.
L'onglet su rchargé est donc le tiers du prisme AB. . . GH ; mais, comme la base CDE n'est que la moitié de CDEH, le volume de l'onglet égale sa base, multipliée par les I de la hauteur.
Tel est donc le coefficient de toute la série figurée en tête de la planche, et qui, à la limite, pour un assemblage polygonal régulier d'un nombre infini de côtés et d'onglets, constitue une figure cylindrique; celle-ci, en raison de sa solidité, qui n'est que les l de celle qui conviendrait à son enveloppe extérieure, est, à nos yeux, un cylindre imaginaire. Nous retrouvons ce même solide imaginaire comme limite de toutes les séries régulières à directrice quelconque. On commencera, en raison de la simplicité des calculs, par les directrices paraboliques.
2. Paradomoïdes. — Soit BD une directrice parabolique ayant pour axe BC, avec le sommet en B. Le coefficient de l'onglet normal est \ (*), c'est-à-dire que l'onglet BCDE est la moitié du prisme correspondant AB...EF. De même l'onglet BCEH a pour mesure { du prisme total AB...GH.
L'onglet surchargé ABDE est égal au volume cylindrique ABCDEH, diminué du volume précité.
(•) Tfuhrù' (les cristaltoïdes clémcnlaircs ; 18G7.
L'aire de la parabole étant ^, ledit volume cylindrique est égal aux| du prisme AB...GU.
On a donc pour la solidité cherchée | — i = A du prisme total; mais comme le prisme correspondant à la base CDE entrant dans les assemblages n'est que moitié, il faut doubler, et l'on obtient le coefBcient général |.
3. Paratrétnoïdes. — Nous examinerons d'abord le cas où le sommet demeure en B, l'axe de la directrice étant BA; la seconde directrice a son sommet en A avec AF pour axe. L'aire extérieure servant alors de base au cylindre, on a pour coefficient du volume cylindrique-^.
Le coefficient de l'onglet paratrémoïdal dans ces conditions est \\ il faut le réduire à la moilié, soit-^r.
La difTérence est ^, mais comme ilf aut doubler pour se rapporter à la base CDE, on obtient le coefticient général -j^.
4. Soit maintenant le sommet de la parabole en D, avec axe DB, la seconde directrice ayant son sommet en B, avec axe EF, on a encore pour le coefficient du volume cylindrique |, mais le coefficient de l'onglet paratrémoïdal est maintenant j\ il faut en prendre la moitié, soit -p^ .
La différence est | qu'il faut doubler, et l'on a le coefficient général -J-. .
5. Revenons aux paradomoïdes, et plaçons la directrice avec sommet en D et axe DC; la seconde directrice avec sommet en E aura pour axe ED.
La figure d'assemblage résultante est un groupe d'ogives à tracé parabolique.
Le coefficient du volume cylindrique est de nouveau |, et le coefficient de l'onglet est ici -j^, dont la moitié
La (liflférence est |, et le coefficient général est |.
Tous ces coefficients de. crislallo'ides complexes sont les compléments de certains coefficients cristalloïdaux de constructions normales; il faut en conclure que la construction a sommet étoile est moins artificielle qu'elle ne parait Tétre, puisqu'elle se relie aux cristalloïdes simples, dont Timporiance est réellement grande.
6. Ellidomoïdes. — Pour construire un cristalloïde complexe de la classe des ellidomoïdes étoiles, les directrices seront elliptiques; soit un quart d'ellipse pour le calcul.
L'aire, base du cylindre^ a pour expression -j- x t?
et le volume cylindrique a pour coefficient 7* Le coefficient de l'onglet principal est |; il faut le réduire de moitié, ^.
La différence est
TT . StT 4
en doublant, on a le coefficient général
3it--4 ""6
complément des ellitrémoïdes normaux.
7. Ellitrémoïdes. — Pour un ellitrémoîde complexe» la base du cylindre a pour aire Y'-^r) f * 6t pour le
rectangle r^ j, le coefficient est ■ T^ *
D'autre part, le coefficient cristalloidal est '^"7 ^ (*), qu'il faut réduire de moitié.
(*) Les Cristalloïdes à directrice circulaire ; 1867.
La différence ^T^^ — '^"" ^ = ts ^^ e* ^ ayant disparu. En doublant, on arrive enfin au coefficient remarquable |, complément des ellidomo'ides normaux.
Ces divers coefficients reproduisent les principaux nombres proportionnels de la gamme musicale, et même la fraction -^, correspondant à la sensible ou septième; la comparaison des poids des cristalloïdes rappellerait donc celle des marteaux de Pythagore.
