INTRODUCTION

on les dit hyperboliques. Au contraire, les équations du type (3)

ont leurs caractéristiques imaginaires ; on les dit elliptiques.

A notre point de vue, les types elliptique et hyperbolique sont totalement différents.

Pour les équations (i), (2) la frontière est ouverte et porte deux données :

Solution ET dérivée conormale.

Pour les équations (3), l'on peut se donner une frontière fermée et une donnée :

Solution ou dérivée normale.

Pour les équations elliptiques, la solution est toujours analytique, tandis que, pour les équations hyperboliques, aucun élément n'est forcément analytique (*).

De sorte que les théories ici résumées vont plus loin, sont plus compréhensives que le théorème de Cauchy-Kowaloska.

Mais, comme les caractéristiques jouent un rôle fondamental, comme leur origine naturelle est dans l'examen minutieux de ce théorème, nous en reprenons brièvement la démonstration en résumant la théorie, aujourd'hui bien assise, de Véquation générale aux dérivées partielles du premier ordre.

Puis nous exposons, d'après M. Goursat, la théorie des caractéristiques pour Véquation générale du second ordre à deux variables indépendantes et les importants théorèmes de M. Goursat et M. Kiquier.

Nous nous occupons alors des équations (i).

Un résumé très bref de la théorie générale des caractéristiques, d'après MM. Beudon et Hadamard, nous amène aux équations (2).

Pour les équations (1), nous essayons de mettre en relief la célèbre Méthode de Hiemann, fondée sur l'emploi de l'intégrale de contour et sur la notion d'adjointe, et la Méthode DES Approximations successives de M. E. Picard, dont la fé-

(') Ainsi, là où le lliLorciiu' de Cauchy-Kowaleska, qui suppose un domaine analytique, ne s'appli(|ue plus, on trouve une solution analytique.

Là où les données seraient celles de Caucliy, les données et la solution peuvent être simplement des fonctions A fois dérivablcs,