INTRODUCTION

Un des problèmes les plus importants que se propose l'Analyse moderne est l'intégration des équations différentielles. La solution en a été poursuivie dans bien des directions; je n'examinerai ici que celles où la théorie des groupes s'est montrée, jusqu'à présent, le plus féconde.

Une équation différentielle étant donnée, on s'est efforcé d'abord d'en exprimer l'intégrale par des fonctions connues ou des quadratures effectuées sur de telles fonctions. On put ainsi intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, les équations du premier ordre appartenant aux catégories suivantes : équations à variables séparées, équations homogènes, équations linéaires, équations de Jacobi, etc. Mais les méthodes d'intégration employées étaient spéciales à chaque type d'équations et n'avaient aucun lien commun, jusqu'à ce que M. Lie remarquât que toutes les équations ainsi intégrées restent invariables par les transformations d'un groupe continu; cette observation le conduisit à un procédé général d'intégration s'appliquant à toutes les équations étudiées par les anciens mathématiciens. D'une façon générale, la connaissance d'un groupe de transformations qui laisse invariable un système d'équations différentielles permet d'en simplifier l'intégration; M. Lie (*) se

(*) Lie-Scheffers, Vorlesungen liber Differentialgleichungen mit bekannten injinitesimalen Transformat ion en et les Mémoires de M. Lie (Mathematische Annalen, t. XXIV et XXV. Leipziger Berichte; 1895).

posa donc le problème suivant : Intégrer un système d'équations différenlielles admettant un groupe connu.

La notion de groupe conduit ainsi à un principe très général d'intégration. Mais il faut remarquer que les méthodes de M. Lie ne s'appliquent qu'à des systèmes particuliers d'équations différentielles; elles ne donnent aucun moyen de caractériser la difficulté du problème d'intégration pour un système quelconque. Le point de vue auquel s'est placé M. Lie rappelle celui de Lagrange et d'Abel dans l'étude des équations algébriques.

De plus, il n'y a qu'un très petit nombre d'équations différentielles dont l'intégrale s'exprime par des fonctions connues; il fallut donc modifier l'énoncé du problème d'intégration et Ton se proposa X étude analytique des fonctions vérifiant les équations différentielles. • Cauchy démontra l'existence des intégrales et en donna les développements en série autour d'un point non singulier; Briot et Bouquet, puis M. Fuchs commencèrent l'étude des singularités. La notion de groupe discontinu s'introduisit lorsqu'on voulut étudier les fonctions intégrales dans tout le plan. En ce qui concerne les équations différentielles linéaires pour lesquelles les résultats obtenus se présentent sous la forme la plus simple, nous avons l'énoncé suivant :

Lorsque la variable décrit dans le plan un contour fermé quelconque, les intégrales d'une équation linéaire subissent une substitution linéaire; les substitutions relatives aux divers contours que Von peut tracer dans le plan forment un groupe discontinu que l'on appelle groupe de monodromie de l'équation.

Cette notion de groupe de monodromie est devenue la base de l'étude analytique des équations linéaires. MM. Jordan, Schwarz, Fuchs, Klein, Painlevé s'en sont servi pour rechercher les intégrales algébriques, M. Poincaré pour étudier les transcendantes qui intègrent les équations linéaires à coefficients algébriques.

Nous poursuivrons ici l'application de la théorie des groupes, aux équations différentielles en nous plaçant à un troisième point de vue qui, comme nous le verrons, comprend les deux que nous venons d'indiquer. Il consiste en l'extension aux équations différentielles des idées introduites par Galois dans la théorie des équations algébriques.

M. Picard ouvrit la voie {Comptes rendus; i883. Annales de la Faculté de Toulouse; 1887) en énonçant le théorème suivant :

A toute équation différentielle linéaire d'ordre n correspond un groupe algébrique de transformations linéaires à n variables, qui jouit de propriétés analogues à celles du groupe de Galois d'une équation algébrique.

Dans sa Thèse (Annales de l'École Normale; 1892), M. Vessiot démontra complètement la double propriété du groupe précédent, que nous nommerons groupe de rationalité de l'équation. Il fit voir quelle relation étroite existe entre le problème d'intégration et le groupe de rationalité.

M. Drach, enfin (Comptes rendus; 1893, 1890), étendit la théorie de Galois aux équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Le travail suivant est divisé en deux Parties, où je résous deux questions distinctes, se rattachant néanmoins toutes deux au point de vue qui nous occupe maintenant.

La première Partie est consacrée à l'étude analytique des singularités des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels et à la classification des transcendantes qui les intègrent.

Au Chapitre I, je montre qu'à chaque point singulier a d'une telle équation est attaché un groupe de transformations linéaires qui joue, dans l'étude de la singularité, le même rôle que le groupe de Galois dans la résolution d'une équation algébrique, ou le groupe de rationalité dans l'intégration d'une équation différentielle linéaire. Ce groupe, que nous appelons groupe de mèromorphie, car ses invariants différentiels s'expriment par des fonctions de x méromorphes au point a, caractérise la nature du point singulier. Il y a, pour une équation d'ordre /i, autant de classes de points singuliers qu'il y a de types de sous-groupes dans le groupe linéaire à n variables.

Au Chapitre II, j'établis les relations qui existent entre le groupe de rationalité, le groupe de monodromie et les groupes de méromorphie relatifs aux divers points singuliers d'une équation linéaire.

Au Chapitre III, j'élargis le champ d'application des méthodes de Galois, et je montre comment elles conduisent à la notion de groupe de monodromie. Le groupe de rationalité nous donne la position des intégrales par rapport à l'ensemble des fonctions rationnelles, tout comme le groupe de monodromie donne leur position par rapport à l'ensemble des fonctions uniformes. De la même façon, un autre groupe linéaire donnerait les relations des intégrales avec l'ensemble des fonctions réelles, et il est probable

que ce groupe jouera un rôle important dans l'étude des courbes définies par les équations différentielles linéaires. Les méthodes de Galois sont toujours applicables lorsqu'on veut étudier les propriétés des fonctions intégrales analogues à celles dont il est question ici : rationalité, méromorphie, uniformité, réalité, etc.

J'indique aussi, dans ce Chapitre, quelle est, à mon point de vue, la marche à suivre pour l'étude analytique des intégrales.

Le Chapitre IV contient une application des résultats précédents à la classification des transcendantes qui intègrent les équations linéaires à coefficients rationnels. Le dernier terme de la classification est constitué par les équations qui appartiennent à une même espèce de Riemann. J'établis quelques propriétés de ces équations, et j'expose une méthode qui permet • de reconnaître si deux équations données sont ou non de même espèce.

La deuxième Partie est consacrée à la détermination du groupe de rationalité d'une équation différentielle à coefficients rationnels (ou algébriques).

Le Chapitre V contient l'exposition des généralités, ainsi que la marche à suivre pour la résolution du problème pour une équation d'ordre quelconque.

Je m'occupe ensuite aux Chapitres VI, VII et VIII des équations du deuxième, troisième et quatrième ordre. Grâce à une classification nouvelle des groupes linéaires homogènes, je montre que la détermination du groupe de rationalité est ramenée à la résolution du problème suivant :

Rechercher si une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique.

On sait toujours résoudre ce problème, et Ton arrive à cette conclusion :

On peut toujours déterminer le groupe de rationalité d'une équatioi linéaire d'ordre 2, 3 ou f\, ou en ramener la détermination à V étude d'une intégrale abélienne.

Nous trouvons ainsi, et par la méthode la plus simple, tous les cas possibles de réduction d'une équation linéaire du quatrième ordre. Nous connaissons dans chaque cas les relations algébriques qui existent entre la variable indépendante et les éléments d'un système fondamental.

J'indique enfin comment on peut profiter de ces relations pour simplifier le problème d'intégration et le ramener à sa forme canonique.

La méthode suivie s'étend immédiatement aux équations d'ordre supérieur.

Au Chapitre IX, je ramène le problème de la détermination du groupe de monodromie attaché à un point singulier d'une équation linéaire, à la forme canonique suivante :

. Rechercher si une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est méromorphe ( intégrale normale^).

Je montre comment les travaux de M. H. von Koch permettent d'étudier cette question.

Les principaux résultats contenus dans ce travail ont été présentés à l'Académie des Sciences (23 novembre 1896, 22 mars et 12 juillet 1897, 7 mars 1898). Dans une Note parue le 3o novembre 1896, j'ai montré comment les principes exposés dans la première Partie conduisaient aussi à une classification des singularités des équations aux dérivées partielles du premier ordre; les résultats obtenus seront exposés dans un Mémoire qui paraîtra prochainement.

Une bibliographie complète me paraissant très difficile à faire, je me suis borné à citer les Mémoires qui m'ont été utiles.