LES POINTS SINGULIERS D'UNE ÉQUATION LINÉAIRE ET LEURS GROUPES

DE MÉROMORPHIE.

1. Équations linéaires du premier ordre. — Nous allons montrer d'abord comment l'étude des «singularités des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients rationnels nous a conduit à un principe général, permettant de classer les singularités de toutes ces équations.

En supposant que le point singulier étudié soit le point x = o, l'équation peut s'écrire

P( - ) étant un polynôme en - et /(x) une fonction holomorphe et diffé-

rente de zéro au point x = o.

En intégrant, nous obtenons

et nous avons à distinguer trois cas.

A. Le polynôme P(— ) est nul (ou constant) et a est un nombre entier positif ou négatif. Dans ce cas

et la fonction y est méromorphe au point x = o.

Nous verrons plus loin qu'il y a avantage à considérer y comme l'invariant du groupe

formé de la seule transformation identique.

B. Le polynôme P( - ] est nul (ou constant) et a est un nombre commensurable positif ou négatif — > petq étant premiers entre eux

P y = œ t lf(x).

Lorsque x tourne autour du point x = o, y prend q valeurs y K , y 2 , . . . , y q qui se déduisent de Tune d'elles par les substitutions du groupe

La fonction^ est l'invariant le plus simple de ce groupe et nous remarquons immédiatement que cet invariant est méromorphe au point x = o

C. Nous réunirons ici les cas qui n'ont pas été étudiés en A ou en B. Lorsque x tourne autour du point o, y prend, en général, une infinité de

valeurs, qui se déduisent de l'une d'elles par les substitutions du groupe

(y) Y = e*** iK y, n = 0, ± 1, ± 2,

Ce groupe est compris dans le groupe continu (c) \ = ty

dont l'invariant différentiel le plus simple est *£-• Cet invariant est méromorphe autour du point x = o

L'analyse des cas A, B, G nous conduit donc à ce résultat, qiïà tout point singulier d'une équation linéaire homogène du premier ordre à coefficients rationnels, est attaché un groupe de transformations linéaires (a), (b) ou (c), dont les invariants sont méromorphes au voisinage du point singulier.

Ce résultat une fois acquis, il n'est pas difficile d'arriver à la conviction que le même fait a lieu pour les singularités de toutes les équations linéaires à coefficients rationnels. Pour le démontrer d'une façon précise, je suivrai une méthode exactement parallèle à celle qu'emploie M. Picard {Traité d'Analyse, t. III) pour arriver à la notion du groupe de rationalité d'une équation linéaire.

2. Groupes de mêromorphie des points singuliers d'une équation linéaire. — Considérons l'équation différentielle linéaire

dont nous supposons pour le moment les coefficients rationnels. Désignons P ar ^n y*) "•} Xn un système fondamental d'intégrales et posons

les quantités u étant des fonctions rationnelles arbitraires.

En différentiant cette équation n 2 fois et remplaçant, lorsqu'il y a lieu,

—T^Li par sa valeur tirée de l'équation (i), on obtient un système d'équations

dV d n *V . ... dy

exprimant V,-t-> • ••>-r-^ r en fonctions linéaires et homogènes de^,,-^*---,

dx n-x > Y*-* ■••> dx n-\ •

En éliminant ces n 2 quantités, on voit que la fonction V satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels d'ordre n 2 , si les u sont des fonctions rationnelles arbitraires (voir Picard, Traité d'Analyse, t. 111, p. 532). Cette équation, que l'on nomme la résolvante de l'équation (1), s'écrit

De plus, le même système d'équations montre que les intégrales^,,

y 21 •••? y m et leurs dérivées s'expriment par des fonctions linéaires à coef-

dV d n '~ l \

ficients rationnels de V, -^— ? • • • > /t , t

dV d n '~ l V

a , r A dV A rf- f -iV

dx ' " rfa?»*- 1

Ces formules montrent qu'à toute intégrale de l'équation (E) correspond un système d'intégrales y ,, y 2 , ..., y n de l'équation (1). Ce sera un système fondamental, sauf le cas où le déterminant formé par les y et leurs dérivées

jusqu'à l'ordre n — i serait nul, ce qui donnerait l'équation

9 étant un polynôme entier par rapport à tous ses arguments. Ainsi, à toute intégrale de l'équation (E), ne satisfaisant pas à l'équation (<p), correspond un système fondamental d'intégrales de l'équation (i).

Ceci posé, considérons un point singulier a de l'équation (i); les coefficients des équations (i), (E) et (<p) sont rationnels en x et, par suite, méromorphes au voisinage du point a. 11 pourra arriver que certaines solutions de l'équation (E), n'appartenant pas à l'équation (<p), vérifient l'équation

r\, , xr dV dp\l

/étant un polynôme entier, par rapport aux quantités V, -j-> • •> -j-j dont

les coefficients sont des /onctions de x, non plus rationnelles, mais méromorphes au point a ( ' ).

Nous verrons plus tard que, en général, c'est-à-dire si l'équation (i) est prise arbitrairement, il n'y a pas d'autre équation (/) que l'équation (E) elle-même.

Mais il peut aussi en être autrement et nous allons étudier les cas très étendus où il existe des équations (/); parmi toutes ces équations, considérons celles qui sont d'ordre moindre et, parmi celles-ci, l'une de celles

de moindre degré en -j- -que nous appellerons (/). Dans ce cas, /est algébriquement irréductible par rapport à -j— et il est facile de voir que toute

solution de (/) appartient à l'équation (E). En effet, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait déduire des équations (E) et (/) une équation (/) d'ordre moindre que vérifieraient toutes les solutions communes à (E) et à (/) parmi lesquelles sont certaines intégrales de (E) ne satisfaisant pas à (<p). L'existence d'une telle équation (/,) est contraire à l'hypothèse; l'intégrale générale de (/) appartient donc à l'équation (E).

(*) C'est ici que ces considérations se distinguent de celles de M. Picard qui, étudiant Jes intégrales dans tout le plan, considère une équation (f) rationnelle aussi par rapport à ar.

lO F. MAROTTE.

Il en résulte que cette intégrale s'écrit

V = o>, V, h- ojj Vj ■+- . . . -+- &v V*»;

les V/ étant des solutions indépendantes de l'équation (E) et les co, des constantes. En écrivant que cette équation vérifie l'équation (/), nous obtenons des relations nécessairement algébriques entre les constantes (*>,, qui permettent de les exprimer en fonctions algébriques de p constantes arbitraires [car l'intégrale de (/) doit dépendre de p constantes]. Ainsi les/? constantes figurent algébriquement dans l'intégrale générale de f

Ceci acquis, soit/ , . . .,/° le système fondamental correspondant à une solution V°= V [(#), X°], et /], ... ,y) n celui qui correspond à la solution V 1 = V[(x), A 1 ]. Pour que les expressions /°, . . ., /,",/', i - -^y) t aient un sens bien déterminé et unique, nous supposerons que l'on ait fait, dans le domaine du point a, une coupure rendant uniformes toutes les intégrales de l'équation linéaire. Il suffit, par exemple, de tracer une ligne partant de a et allant jusqu'à la limite du domaine; les fonctions/ ,/ 1 ct > P ar suite, V° et V 1 sont alors bien déterminées et uniformes.

Les intégrales/ dépendent algébriquement des quantités X° et les intégrales/' des quantités X 1 ; niais Ton a

( j r î = «iiyî + «iiyï + -.-+«i»yS»

( yl = <*n\y\ -H a tn y\ -f- . . . -H a nn y°,

et il résulte de ces équations que les quantités a, qui sont indépendantes de Xj sont des fonctions algébriques des paramètres X° et X 1 . Si nous donnons aux X° des valeurs numériques fixes en laissant varier les X 1 , les équations (2) définiront un ensemble de transformations linéaires dont les coefficients dépendent algébriquement des paramètres variables.

Cet ensemble forme un groupe.

Nous devons démontrer que le produit de deux transformations de l'ensemble (a) est une transformation de cet ensemble. Pour cela, considérons une troisième intégrale de l'équation (/), Y*= V [(«£), X 2 ], ne satisfaisant pas à l'équation (9). Il lui correspond le système fondamental/ 2 , . . ., yl et

Ton a

( y\ = b xx y\ -4- &n JÎ H- . . . + b xm y% 9

( j\ = à HX y\ 4- b nl y\ 4- ... 4- 6„„/°,

les quantités è lA n'étant pas autre chose que les quantités a ik où Ton a remplacé les valeurs X 1 par les valeurs X 2 . Le produit des transformations (2) et (3) est

C Yi = b n y\ + b„y\-)-...-+-b ltt yj t ,

( Y /t =6, fI /î-+- &,, St yÎ4-...4- b nn y\,

et il nous faut prouver que Ton a les relations

( Y /t = c nx y\ 4- c a ,jî 4- . . . -h c„„v; = y\ ,

où les quantités c /A ont précisément les valeurs que prennent les quantités a ik quand on y remplace les X 1 par de nouvelles valeurs X 3 .

Gela revient à démontrer que les intégrales Y correspondent à une intégrale V 3 = V[(x), X 3 ] appartenant à (/).

Les systèmes fondamentaux^ , y\ y*, Y correspondent respectivement aux intégrales V°, V 1 , V 2 , V de la résolvante (E) et nous savons que les trois premières appartiennent à (/) ; il faut démontrer que V est aussi une intégrale de (/).

Or on a

v i = "iy\ 4-. ..4- «,,7,1,

V 2 = u x y\ 4- ... 4- u„y*= U, y\ 4- ... 4- U„y,% V =**,Y,4-.. .4- u„\ u '= U| vj4-. . -4- L T „rJ,

d'après les formules (3) et ( / i). En remplaçant dans les deux dernières égalités les intégrales y et y 1 par leurs valeurs en fonction de V° et de V', nous obtenons

dX' d''V

dV d p \

où l'expression R est une fonction rationnelle des quantités V, -r- > • • • > -?— > dont les coefficients sont des fonctions de x méromorphes au point a. Les dérivées , p+i ont été éliminées à l'aide de l'équation (/). Si je fais maintenant sur l'équation f= o la transformation

cette équation deviendra

qui admettra la solution V = V 2 . Cela suffit pour démontrer qu'elle est identique à l'équation

En effet, s'il n'en était pas ainsi, la fonction V 2 et, en général, toutes les solutions communes aux équations/* = o, f = o vérifieraient une équation

. [\ v r, dW f dP*Y'l

qui serait d'ordre inférieur à celui de /, ce qui est contraire à notre hypothèse fondamentale.

La transformation (5) change donc l'équation /= oen elle-même; Vest donc une intégrale de cette équation et le théorème que nous avions en vue est démontré.

Ainsi les transformations linéaires homogènes (2) forment un groupe. Nous exprimerons ce fait que les coefficients a de ces transformations dépendent algébriquement des paramètres arbitraires en disant que ce groupe est algébrique.

Nous énoncerons donc, comme conclusion à ce paragraphe, ce premier résultat :

Théorème I. — A tout point singulier a d'une équation différentielle linéaire, homogène, d'ordre n, à coefficients rationnels, est attaché un groupe algébrique de transformations linéaires homogènes à n variables.

Ce groupe g a sera appelé le groupe de méromorphie de l'équation relatif au point a.

3. Propriétés du groupe de méromorphie. — Nous allons établir deux propriétés fondamentales de ce groupe qui justifieront le nom que nous venons de lui donner; elles sont tout à fait analogues aux propriétés du groupe de rationalité d'une équation linéaire démontrées par MM. Picard et Vessiot.

Théorème IL — Toute fonction rationnelle de x, y n y 2 , •••> J^ et de leurs dérivées qui s'exprime par une fonction de x, méromorphe au point a, reste invariable quand on effectue sur y ,, y. 2 , ... 9 y n une substitution du groupe g a .

Lorsque nous parlons de l'invariabilité d'une fonction, nous la considérons toujours comme dépendant de la seule variable x. Il peut très bien arriver que la fonction considérée où les y sont regardés comme des variables indépendantes, soit altérée par une transformation linéaire, tandis que sa valeur ne change pas lorsqu'on y a remplacé les y par les intégrales de l'équation considérée; c'est de cette dernière invariabilité qu'il s'agit ici.

Supposons que l'on ait

et remplaçons y", . . ., yl et leurs dérivées par leurs valeurs en fonction de V° ; nous obtenons

Puisque F (x) est méromorphe autour du point a, l'équation

est analogue à l'équation (/) et elle a, avec cette dernière équation, une intégrale commune V° ne satisfaisant pas à (^). Elle admet donc toutes les solutions de (/) et l'on a

c\t \ v» dyi * V1 1 r t ^

l4 F. MAROTTE.

Enfin l'égalité

17/ i t x r\i >, vi rfV1 rfpVl l

nous conduit à

■"* C^j J^i » • • • f y n> • • • ) -— * q\&) ^^ r ^ J7, y | , . . . , y nf . . . ).

La fonction F est donc invariable au sens que nous avons donné à ce mot.

Théorème III. — Toute fonction rationnelle de x, y n y> 21 . . ., y n et de leurs dérivées qui reste invariable par les transformations du groupe g a est une fonction de x, méromorphe au point a.

Soit F(x,y n y 2 , . . -,>«j • • •) un ^ fonction rationnelle de tous ces arguments, telle que

r K&i y \i y il • ' • >,Xrt> '••)-—" \&9 y \* ••• ».*«» • • • )•

En remplaçant les intégrales y et y* par leurs valeurs en fonction des intégrales V° et V 1 , nous obtenons

Ainsi, quelle que soit l'intégrale V de l'équation f = o, on a

Je dis que F (x) est une fonction méromorphe au point a. En effet, si pi est le degré de f par rapport à -j-j t > on peut supposer G de degré pi — i au

plus. Donnons à x une valeur b voisine de a et considérons les intégrales de f = o qui, pour x = b, prennent, ainsi que leurs p — r premières dérivées, des valeurs initiales arbitraires V , (-T-) » •••> f , t ) ; ces intégrales sont en nombre jjl, puisque /= o donne [/. valeurs distinctes pour -t- - • L équation

dP\ doit être vérifiée pour ces j/, valeurs de -j- fi et puisqu'elle est de degré ut — - i

en -t-j> elle est identiquement vérifiée. Ainsi, quelles que soient les valeurs

attribuées à V, -r-> •••> -r-y> G garde la même valeur; elle ne dépend donc pas de ces variables et l'on a

ce qui prouve que F (#) est méromorphe au voisinage de a.

Les théorèmes II et III expriment les deux propriétés fondamentales du groupe de méromorphie de l'équation linéaire relatif au point a. Ils sont tout à fait analogues aux théorèmes de Galois sur les groupes des équations algébriques, de MM. Picard et Vessiot sur les groupes de rationalité des équations différentielles linéaires.

Ces deux propriétés sont d'ailleurs caractéristiques du groupe g a qui est ainsi formé de toutes les transformations linéaires laissant invariables toutes les fonctions rationnelles de x, y n . .., y n et de leurs dérivées, méromorphes au point a. En effet, supposons que toutes ces transformations forment un groupe G a différent du groupe g a . Le théorème II montre que le groupe G a contient toutes les transformations du groupe g" a , qui est donc un de ses sous-groupes. De plus, le théorème III nous apprend que toutes les fonctions invariables par Tapporl à g a sont méromorphes au point a et par suite invariables par rapport au groupe G a .

Les invariants du groupe G a sont donc les mêmes que ceux du sous-groupe g a \ cela suffit pour pouvoir affirmer que ces groupes sont identiques.

4. Groupe de méromorphie et groupe de monodromie au point a. — Lorsque la variable x tourne autour du point a en franchissant la coupure tracée au n° 2, les intégrales y se changent en des intégrales s qui s'expriment en fonction des y par les formules

qui définissent une substitution linéaire S. Lorsque x tourne un nombre quelconque de fois autour du point a, le groupe de substitution des intégrales se compose de la substitution S et de ses puissances; c'est, comme l'on sait, le groupe de monodromie de l'équation dans le domaine du point a.

Ce groupe, qui est toujours discontinu, ne se confond avec le groupe de méromorphie relatif au point a, que dans les seuls cas particuliers où

l6 F. MAROTTE.

celui-ci est aussi discontinu. C'est ainsi qu'au n° 1 les groupes (a) et (b) sont à la fois les groupes de monodromie et de méromorphie relatifs à l'origine. Au contraire, dans le cas général C, le groupe (y) est un sous-groupe du groupe de méromorphie (c).

Ce dernier résultat est général : le groupe de méromorphie contient le groupe de monodromie.

En effet, lorsque x tourne autour du point a, les intégrales y se changent en les intégrales z° et l'intégrale, V° de (/) en une autre intégrale U° de cette même équation. La substitution S correspond au changement de V° en U°; elle appartient donc au groupe de méromorphie.

5. Le groupe de méromorphie est déterminé à une transformation linéaire près. — Nous avons choisi arbitrairement une quelconque des équations (/) qui remplissent les conditions fixées au n° 2. Que devient le groupe de méromorphie lorsqu'on remplace l'équation (/) par une autre équation (/,)?

Par le procédé employé au n° 2, nous définirons un nouveau groupe g ia . Aux intégrales U° etU 1 de l'équation /,(U) = o correspondent les systèmes fondamentaux z \ , . . . , z° n et z\ , . . . , z\ de l'équation linéaire ; le groupe g Ka sera formé de toutes les transformations linéaires faisant passer des intégrales z° aux intégrales z*, lorsqu'on suppose que U° est une intégrale déterminée de (/, ) et U 1 son intégrale générale.

Nous avons les relations

(6) s? = A/, i yï + Art7Î + ...+ A/ JI yJ (* = i, 2, ..., n),

d'où il résulte

a et ($ étant des fonctions rationnelles de x.

Il est maintenant facile de voir que la transformation

r dx

change l'équation /(V) = en l'équation /,(U) = o. En effet, si nous désignons par / / (U)= o l'équation transformée de (/), les deux équations (/«) et (/ ) ont une intégrale commune U° et, par suite, ont toutes leurs intégrales communes, comme nous l'avons déjà vu bien souvent.

Donc, si nous appelons U 1 l'intégrale de (/,) qui correspond à V 1 , nous aurons

U«=:aV"-t-p2JL-h...

et cette formule nous conduit immédiatement aux relations »

Les équations (6) et (7) montrent que le groupe g Ka est le transformé du groupe g a par une substitution linéaire convenable. Nous dirons que ces groupes sont homologues dans le groupe linéaire homogène général formé par toutes les transformations linéaires à n variables, ou bien encore qu'ils appartiennent au même type.

La démonstration suivante (*) nous conduira plus rapidement au même résultat.

Lorsqu'on a choisi pour^J, ...,.X° un système bien déterminé d'intégrales

(le sens des expressions f° est bien déterminé et unique, lorsqu'on a effectué une coupure dans le domaine du point a) le groupe de méromorphie est bien déterminé, car c'est, comme on l'a vu au n° 3, le groupe formé par toutes les transformations linéaires qui laissent invariables toutes les fonctions rationnelles de a?, y* . .., y* et leurs dérivées qui sont méromorphes au point a, après qu'on y a remplacé les quantités y] par les expressions /? .

Mais ce choix d'intégrales est arbitraire, et nous pourrions tout aussi bien désigner par les lettres y*, . . .,yl et prendre pour point de départ de nos considérations les nouvelles intégrales que l'on obtiendrait par la résolution des équations

Ce ne sont plus alors les mêmes fonctions de y", . . ., yl qui sont méromorphes au point a, mais, au contraire, d'autres fonctions qui se déduisent des premières en changeant y\ en k iK y\^-. . . -+- Ai„y° t . Le groupe de transformations linéaires qui laissera invariables ces nouvelles fonctions sera donc le transformé du premier groupe par cette substitution linéaire.

( l ) Ce mode de raisonnement est emprunté à M. Vessiol qui remploie pour établir le théorème analogue relatif au groupe de rationalité.

Remarque. — Pour la commodité du langage, nous avons supposé jusqu'ici que l'équation différentielle linéaire étudiée avait ses coefficients rationnels; cela n'est nullement nécessaire : il suffit que ces coefficients soient méromorphes au point a.

6. Réduction du problème d y intégration au point a. — Les fonctions y n y. 2 , . . ., y n sont des intégrales de l'équation

d n y ci' 1 - 1 y

et vérifient par suite les égalités

Ix^ ~ ¥Pï dx»- ç

En résolvant ces équations linéaires par rapport à p i} p 27 . . ., p n , nous obtenons le système d'équations différentielles suivant, que vérifient les fonctions y n y 2J ...,7»,

= — Pn<

On a posé

dx"~ l

dx n ~ x

et A/ est le déterminant obtenu en remplaçant dans A les éléments de la colonne de rang i par -^£, . . . , -^.

Nous remarquons que les premiers membres des équations du système (8) sont des invariants différentiels du groupe linéaire homogène général ; les seconds membres sont des fonctions rationnelles connues de la variable indépendante. Nous aurons souvent à considérer de tels systèmes d'équations que nous nommerons systèmes canoniques.

Nous voulons étudier les intégrales dans le voisinage du point a. Pour cela, nous développons les fonctions p n p 2 , ...,/?„ suivant les puissances croissantes de x — a\ ces fonctions sont méromorphes au point a, de sorte que le nombre des termes à exposants négatifs est limité. L'étude des inté-

grales autour du point a ou, comme nous dirons à l'avenir, le problème d'intégration au point a, consiste en l'étude des équations (8), lorsque la variable indépendante reste dans le domaine du point a. Nous allons voir de quelle importance est, pour cette étude, la notion de groupe -de méromorphie.

Soit g a le groupe de méromorphie de l'équation relatif au point a. Les invariants différentiels de ce groupe sont méromorphes en a, d'après le théorème III. Prenons, parmi ces invariants, les plus simples /,, / 2 , . . . , f r en nombre suffisant pour que les transformations qui n'altèrent pas /,, .A, • • • j fr soient les transformations du groupe g a et celles-là seulement. Ces fonctions f forment alors un système d'invariants caractéristiques du groupe g a . Lorsqu'on y remplace les intégrales y n y 2 , . . . , y n par leur valeur exprimée en x, ces invariants deviennent des fonctions f°(x) méromorphes en a. Lesintégralesy,,^, ..., y n vérifient donc le système d'équations suivant :

fl(yt>-->y*^* •••) = /!(*). •••> /rO') =/?(*)■

De plus, toute autre relation

où F est un polynôme par rapport aux j,,.. .,,/,,, -f- 1 * dont les coefficients

sont méromorphes en #, sera une conséquence des équations (9).

En effet, la fonction F reste invariable pour toutes les transformations du groupe g- tf (théorème II), c'est-à-dire pour toutes les transformations qui n'altèrent pas f n f 2 , . . . 9 f r . Elle s'exprime donc en fonction rationnelle de

fi ? f-2i --ifr* d* ' • •> ave c des coefficients méromorphes en x {voir Picard, Traité d'Analyse, t. III, p. 558) :

La relation G = o doit être identiquement vérifiée quand on y remplace les fi par les expériences /", sans quoi on aurait une relation où figurerait seule la variable indépendante. La relation F = o n'est donc pas distincte des équations (9).

En particulier, les équations (8) sont une conséquence des équations (9); il en résulte que ces dernières sont en nombre au moins égal à n. Dans le cas où r = n, les invariants /*, , f 2 , . . -, f r sont indépendants; dans le cas où r est plus grand que /i, les invariants /, , f 2 , . . . , f r sont liés par r — n relations algébriques par rapport aux /et à leurs dérivées.

Nous arrivons ainsi à définir les fonctions y n y 2 , . . .,y n comme intégrales du système (9). Les premiers membres des équations de ce système sont des invariants différentiels du groupe de méromorphie; les seconds membres sont des fonctions de x, méromorphcs au point a. C'est un système canonique.

De plus, toute équation, telle que F = o entre y n y 2J — y H , peut se déduire par différentiation et élimination des équations (9). Donc, si Ton ne fait pas d'autres opérations que des différentiations et des éliminations, on ne peut remplacer le système (9) par un système plus simple; il est, à ce point de vue, irréductible.

La considération du groupe de méromorphie nous a donc permis de remplacer le système canonique (8) par le système (9) qui est plus simple, lorsque le groupe g a ne contient qu'une partie des transformations du groupe linéaire homogène général. Le problème d'intégration au point a est alors ramené à une forme plus simple, mais il n'est plus susceptible d'autre réduction analogue.

Enfin, dès que l'on a intégré le système (9), on obtient toutes les intégrales du système (8) en faisant sur les intégrales obtenues une transformation linéaire homogène quelconque.

7. Etude analytique des singularités. — Dans l'étude analytique des intégrales autour du point a nous aurons plusieurs cas à distinguer :

A. Le groupe g a contient la seule transformation identique.

Les in variants /,,/ 2 , . . .,/„ sont alors tout simplement/,,^, . . ., y n , et l'on a

Ces intégrales sont méromorphcs au point a et le calcul des quantités f° donne leurs développements en séries. Ces expressions peuvent être obtenues par les méthodes de M. Fuchs.