Les étapes de la philosophie mathématique

■ Les difficultés que la philosophie rencontre aujourd'hui sont liées, pour une bonne part, au problème de la vérité. Elles s'expliquent sans doute par ce fait que les idées longtemps professées sur les méthodes et sur les résultats de la science sont devenues hors d'usage à mesure que le contact s est fait plus étroit entre savants et philosophes. La rupture ili' l'équilibre traditionnel a pris la gravité d'une crise, du jour où elle s'est manifestée dans les mathématiques dont l'humanité avait tiré le type de la certitude inébranlable.

Il y a vingt-cinq ans, lorsque Jules Tannery publiait la magistrale Introduction à la théorie des fonctions d'une varia- '/ih, il semblait que, pour rendre compte des mathématiques modernes, il suffisait de faire appel à la notion claire et distincte du nombre entier. Dans les premières années du xx" siècle, une révolution s'annonce par l'entrée en scène de la logique symbolique. Le concept aristotélicien de classe (ou de fonction propositionnelle) devient la clé de voûte d'un édifice dont les vastes proportions contrastaient avec les bornes de l'arithmétisme, et qui en même temps paraissait jamprunter sa solidité aux éléments du discours pris en général. Mais, sous la pression de la contradiction qu'il y .avait à réaliser l'univers du discours, classe de la totalité des ^classes, l'édifice s'est écroulé. La logistique, subsistant sans ;nul doute à titre de technique formelle, s'avoue impuissante à justifier la mathématique en tant que maîtresse de vérité.

VI AVAXT-PROPOS

Dès lors, par une réaction inévitable, la philosophie mathématique s'est fiée et abandonnée à l'intuition, sans réussir pourtant à se frayer une voie certaine à travers la richesse et la diversité des formes de l'intuition, depuis cette forme réaliste qui, à la base de toute théorie comme à tout moment de la démonstration, exigerait une image, un donné, jusqu'à cette forme mystique, qui dispenserait, non seulement de la représentation sensible, mais encore de la preuve rationnelle.

D'aussi étranges vicissitudes ont déconcerté plus d'un esprit cultivé ; elles ont stérilisé, au point de les transformer en leçons de scepticisme, les enseignement substantiels, et profonds dont des savants hors de pair avaient pris l'initiative. Et si la mathématique n'a pas su conserver le sentiment de la vérité qui lui appartient, tout au moins si elle ne peut plus en produire au dehors les caractères essentiels, il est fort à craindre que les philosophes de profession n'aient plus rien à dire; ou, ce qui reviendrait au même, ils pourront tout dire, avec une chance égale de se mouvoir dans le spécieux et dans le probable, mais sans espoir de rencontrer la raison capable de fixer et d'imposer une solution déterminée. Dans cet état de choses, une seule ressource nous a paru demeurer : ce serait, au lieu de s'engager dans le tourbillon formé par tant de courants contraires, de considérer ce tour- billon pour lui-même, de rechercher les conditions de sa|| formation et de son développement. La base de la critique philosophique serait alors dans l'histoire de la pensée mathématique.

Nos travaux antérieurs sur Spinoza et sur Pascal nous avaient déjà conduit à nous préoccuper de cet aspect de l'histoire : les positions que l'un et l'autre penseur ont prises à l'égard de la géométrie cartésienne, nous avaient paru com mander en partie leurs conceptions respectives de la raison humaine et de l'exégèse même. Il fallait maintenant étendre le champ de ces études : si on prétend tirer de l'histoire des leçons utiles, il importe que l'on ne commence pas pai choisir celles que l'on voudrait recevoir. Pour avoir quelquç chance de voir clair dans le problème de la vérité, tel dii