Lettre à VHôpital, du 27 décembre 1694. M, II

tenais à ce calcul, je ferais tort à mon créancier. Je retrancherais, en effet, l'intérêt delà somme d'argent telle qu'elle sera due dans un an, alors que je n'ai à tenir compte que de la somme telle qu'elle est due actuellement. La différence des deux sommes est précisément dans le montant de l'intérêt pour un an; il faut donc que je rétablisse la balance en portant au compte du cré-

ancier l'intérêt du montant de l'intérêt, ou - X -• Seulement, si

j'arrêtais là l'opération je commettrais de nouveau une erreur, cette fois à mon désavantage, puisque l'intérêt de l'intérêt est encore calculé sur la somme totale à payer dans un an; il faut que j'en rabatte, à mon profil, la portion afférente à l'intérêt

de l'argent pendant l'année en cours : (-) X-. A ce second

rabat s'appliquera d'ailleurs un raisonnement de même ordre; il donnera lieu à une seconde ristourne au profit du créancier, qui elle-même donnera lieu à un nouveau rabat en ma faveur, et ainsi de suite à l'infini. La somme que je devrais payer sera exprimée exactement par la série infinie :

1 h — îH--! 3, etc.

La somme de cette série peut être déterminée, elle aussi, avec

exactitude; elle est égale à la fraction - .; car il est facile

de voir que la multiplication de la série par y + 1 ne laisse subsister qu'un seul terme : u. Le problème est donc résolu par Yanalyse de l'infini.

Mais au terme de cette longue démonstration nous ne faisons que retrouver une valeur que l'algèbre pouvait nous fournir de la façon la plus simple et la plus élégante; ne suffit-il pas de poser directement l'équation du problème

pour obtenir presque immmédiatement la valeur de .x? L'équa-

tion équivaut a vx-i-x^v; ce qui donne x= .-

Le contraste technique des deux méthodes souligne l'intérêt du jugement que porte Leibniz : « Quoique la seconde soit dans ce cas plus facile que la première, cependant j'estime que la première a une grande portée, parce qu'elle fournit l'exemple d'une

L ALGKBIIK KT L ANALYHK 207

iiiialysc remarquable cl difirranl en cela de l'algcbrc que raijj^èbre... considère comme connue la quanlilé inconnue, et part de là pour l'égaler avec les connues, cL en chercher la valeur; au contraire l'analyse, procédant uniquement à l'aide lie (juanlilés connues, obtient directement l'inconnue. Ce qui, ajoute Leibniz, est d'un grand usage : lorsqu'il est impossible d'obtenir par l'algèbre la valeur rationnelle de l'inconnue, on peut y arriver néanmoins grâce à cette méthode, en faisant intervenir une série infinie '. »

Ces réflexions suffisent à mettre déjà dans un rebef saisissant la différence du mathématisme leibnizien et du mathématisme cartésien. La raison, chez Descartes, repose sur un fond d'évidence et de simplicité. Le philosophe définit ce qui est absolument clair en soi, ce qui présente le maximum de sira- ]ilicité; il pose le type de la relation intelligible : mesure des dimensions analogues aux dimensions spatiales, ou transformalion des équations algébriques; il constitue la science par la combinaison de ces relations intelligibles. Les problèmes qui ne rentrent pas dans les cadres de ces relations échappent aux prises de la raison humaine; Descartes n'hésite guère, on l'a vu, à les croire à jamais insolubles. Une telle conception rappelle le dogmatisme de l'antiquité; c'est ainsi que la spéculation pythagoricienne avait commencé par identifier la raison universelle avec la pensée proprement arithmétique, au risque de se heurter aux paradoxes et aux contradictions nées de la découverte des irrationnelles. C'est ainsi qu'avec le système classique de Ptolémée l'astronomie hellénique procède du principe que tout mouvement céleste est nécessairement circulaire, jusqu'à ce qu'elle se perde dans l'enchevêtrement des cycles et des épie y des.

Les embarras qui ont entraîné l'échec, ou tout au moins limité la portée, de ces diverses doctrines décèlent la faiblesse du préjugé dogmatique. La meilleure méthode pour l'intelligence mathématique de l'univers n'est nullement celle qui, dans certains cas élémentaires, présente l'application la plus facile; car cette facilité même, de nature à séduire le philosophe, paralyse le savant en présence des problèmes complexes que la réalité ne peut manquer de poser. C'est celle qui dans l'apparence du simple sait déjà discerner la complexité, 1' « immense subtilité », caractéristique du réel; les principes n'y sont plus des formes déterminées et closes, destinées à opérer la cristal-