CHAPITRE II LE CALCUL ÉGYPTIEN

UN PROBLÈME D'aHMÈS

16. — Si haut que nous permettent de remonter les documents d'origine babylonienne ou égyptienne, qui ont été découverts de nos jours, ils nous placent dans un milieu de pleine culture, dans une ère de véritable science. Pour leurs mesures pratiques, pour leurs combinaisons astrologiques, les Babyloniens avaient construit des tables de calcul, qui reposaient sur une combinaison du système décimal et du système sexagésimal de numération, et qui comprenaient quelque vingt-quatre siècles avant Jésus- Christ, la multiplication, la division, la détermination des puissances deuxième et troisième. Les exercices pour Fusage des tables de multiplication, en particulier, étaient poussés suivant l'expression d'Iiilprecht\ à un point phénoménal.

Mais, dans l'état actuel de nos connaissances, ce sont les Egyptiens qui peuvent nous fournir le trait le plus significatif de cette période archaïque. Nous prendrons comme exemple un problème emprunté an papyrus Rhind ou Manuel cVAhmès, dont Eisenlohr a publié en 1877 le texte et la traduction-, et qui daterait d'environ dix-sept siècles avant notre ère.

Le problème 40 est énoncé dans ces termes : « 100 pains en 5 personnes; -^ des trois premières, c'est la part des deux dernières; quelle est la différence? »

1. Voir Hilprechl, Die Ausgrabimgen der Universitiit von Pennsylvania iin Bel- Tempel zu Nippur, Leipzig, 1903, p. 60. — L'ensemble de nos informations sur le mathématique chez les Babyloniens et les Assyriens est exposé dans la 3" édit. de Cantor, 1907 (chap. i, die Babylonier, p. 19 et suiv.) et, dans la dernière moitié du second chapitre de l'ouvrage de Max Simon : Geschichte der Malhematik im AUerthwn in Verbindung mit antikcr Kiilturgeschichte (Berlin, ,1909). Babylonien- Assyrien, p. 89, et suiv.

2. Ein malheinalisches Handbuch der allen .Egypter, Leipzig, 1877.

UN FHOBLÈME d'aIIMÈS 27

11 est résolu par ces mots : « Fais comme il arrive : dijjérence

Fais croître les nombres 1 fois 0; cela donne maintenant :

Pour 23 38^

- H '"sii

Ensemble. 60 Ensemble. 100»'

Nous avons à nous faire une idée du mouvement de pensée qui permet de rejoindre la solution à Ténoncé. 11 s'agit de partager les pains en cinq parts croissant régulièrement par différences égales, de telle sorte que la somme des deux plus faibles soit le septième de la somme des trois plus fortes.

Nous laissons de côté pour le moment le nombre des pains à partager. Prenons pour unité la part de la plus faible, appelons différence la quantité qui s'y ajoute pour former la part immédiatement supérieure et qui demeure constante entre deux parts consécutives. Nous obtenons la répartition suivante : la première part a une unité; la seconde une unité plus une différence; la troisième, la quatrième, la cinquième, une unité plus deux, trois et quatre différences. Tandis que les deux premières ont deux unités plus une diiîérence, les trois dernières ont trois unités plus neuf différences. D'après les conditions du problème, trois unités plus neuf différences valent sept fois deux unités plus une différence, c'est-à-dire quatorze unités plus sept différences. La compensation s'établit donc entre les deux, sommes : l'une ayant deux différences de plus et onze unités de moins, l'autre ayant onze unités de plus et deux différences de moins; c"est-à-dire que deux différences équivalent à onze

unités, la différence est de o ^ comme l'indique Ahmès'-.

l.Eisenlohr, p. 90 et suiv., cf. Cantor P, p. 78.

2. M. Bobynin, dont nous avons utilisé les études sur les procédés des premières découvertes matliématiques, suppose que le résultat a été trouvé par la

Partant alors de l'unité, on obtient la succession des cinq nombres formant progression arithmétique :

et satisfaisant au mode de répartition qui est indiqué par l'énoncé :

^1 + 6 2) est le ?<= de la somme ('i2h-17| + 23') ou 52 1.

La somme des cinq nombres est 60; nous avons 100 pains à partag-er. C'est ici que nous voyons intervenir, après le nombre-

différence 5^, et sans aucune explication d'ailleurs, le nombre-

rapport 1 ^; de 60 à 100 il y a une certaine relation numérique

qui met en connexion — le mode de répartition demeurant constant — la quotité des parts dans la distribution de 100 pains et la quotité des parts dans la distribution de 60. Cette relation se désig-ne comme « l'expression de 100 entre 60 ». Or, 100, c'est

60 plus les ô de 60 ; 1 ^ devient ainsi un coefficient de multiplication qui s'applique aux parts successives, ou plutôt qui sera pris lui-même pour point de départ à la place de l'unité, la

différence 5^ devant être elle-même majorée de t^. Il s'agit

donc d ajouter à 5^, les 7; de 5^. Les ^ de 5^ s'obtiennent

^ O Â O Jà

par la duplication de m ->- p qui donne 3 + ^ , la somme sera

donc :8 + ^-+-gou9^.

La valeur définitive des parts est donc obtenue par l'addi-

tion successive de la différence 9^ à la part la plus faible 1k;

ce qui fait :

formation d'uae série de progressions à difl'érence entière qui auraient été successivement éliminées après vérification, et par l'intercalation finale d'une diirérence à forme fractionnaire. L'hypothèse n'est nullement inadmissible; mais les opérations seraient assez délicates, alors que la voie directe paraît plus simple (cf. Méthode expérimenlale dans la science des nombres et principaux résultats obtenus, L'Enseignement mathématique, 15 mai 1U06, p. 178).

UN pnonLÈMK d'ahmks 29

17. — Toi pst lo minimum (Popôralions qui so trouvent impliquées clans la solution dAliinôs. Comment ces opôralions ont-elles été conçues explicitement par les maîtres dont Ahmès reproduit l'enseignement, quelle sorte de justification en a été donnée, nous l'ignorons. Ni les fragments mathématiques des papyrus antiques, découverts postérieurement et qui contiennent la solution de problèmes fort intéressants ' ; ni le papyrus mathématique en langue grecque que M. J. Baillet a puVlié en 1892*, et qui reproduit plus de deux mille ans après le papyrus Rhind les formes cristallisées de l'arithmétique égyptienne, ne nous apportent aucune lumière sur les conceptions fondamentales de la pensée égyptienne. Même, si Ton ose tirer une présomption des rares documents que nous possédons, et qui ne sont peut-être pas de la meilleure qualité ', c'est cette absence de considérations théoriques qui serait caractéristique de l'arithmétique égyptienne.

Ainsi la première partie du papyrus Rhind contient de longues tables qui ont pour objet d'obtenir le résultat de la division de 2 par un nombre impair à l'aide d'expressions équivalant à des fractions dont le numérateur est toujours l'unité. Par exemple*,

1. Par exemple du problème qui donnerait lieu, pour nous, au système d'équations :

Voir H. Schack-Schackenburg, der Berliner Papyrus 6619, Zeitschrift fiir .iEgyptische Sprache und Altertumskunde, t. XXXVIII, 1900, p. 137; et Max Simon, op. cit., p. 41.

2. Le Papyrus mathématique d'Akhmim (Mémoires publiés par les membres de la Mission archéologique française au Caire, t. IX, fasc. I).

3. Eugène Révillout, suivi par Max Simon, op. cit., p. 28, ne veut voir dans le manuel d'Ahmès, où se trouvent d'ailleurs des fautes grossières, qu'un « cahier d'élève et d'élève peu intelligent ». Revue égyptologique, t. IL, 1882, p. 292 et 304, n. 2.

4. S" colonne, table III, Eisenlohr, p. 38. Cette indication est accompagnée dans le papyrus d'une vérification :

Le calcul de ki P'T rapport à ^ donne 1 g^J =s — c'est K

— c'est ê

c'est

La somme de ces quatre dernières expressions fractionnaires reproduit donc le dividende 2.

la division de 2 par 29 donne comme résultat la somme des fractions suivantes :

Ahmès sait manier les fractions, sinon avec dextérité, du

moins avec sûreté. Pourtant on ne peut pas dire qu'il conçoive

dans toute sa généralité le calcul des nombres fractionnaires.

Seules les fractions qui ont pour numérateur Tunité (auxquelles

il faut joindre ^, où Ton aperçoit immédiatement o + o) sont

des expressions numériques et des auxiliaires du calcul. Les

autres fractions telles que ^ sont au contraire des énoncés de

problèmes, semblables à des quantités inconnues, et la solution du problème posé par ces fractions consiste à obtenir une somme équivalente, dont les éléments soient des fractions de

numérateur un (sauf encore une fois ^j et autant que possible

de dénominateur pair, afin de rendre la duplication plus facile '. D'autre part, à l'aide de ces tables, on peut trouver les équivalents de n'importe quelle expression fractionnaire ; par exemple

pour ^ on posera :

7=1+2+2+2 et on traitera la somme

à l'aide de transformations de fractions comme on a déjà traité

iTfT. Mais ce qui est remarquable, c'est que cette résolution de la

multiplication en duplication paraît avoir été générale dans l'arithmétique égyptienne, la multiplication n'y est pas encore connue comme opération directe. Pour effectuer un produit par 13, on prend le nombre simple, puis successivement son double, son quadruple, son octuple; et en ajoutant le simple, le quadruple, l'octuple, on obtient le produit cherché-.