Cours, l. p. 142, Cf. pp. 351 et

4. La science moderne, p. 27. Cf. Fourier, op. cit., p. xxii. « L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. »

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autre grand géomôlre, et qui consiste surtout dans la relation intime et continue de Tabslrail au concret, comme je me suis tant elTorct'' de rrtablir ncitcment ' ».

La nialliénialique abstraite s'est donc constituée en vue de résoudre les équations fournies par les différentes branches de la mathématique concrète. Elle est un calcul, et elle a pour base le calcul des valeurs numériques, Tarithmétique. Mais l'évaluation numéri(jU(; no peut pas en général s'opérer sans une transformation préalable des équations; l'élude de ces transformations va donner lieu à une extension indéfinie de la mathématique abstraite : calcul des fonctions directes, qui est l'algèbre ; calcul des fonctions indirectes, qui est Vanalyse transcendante.

Une telle conception de la mathématique abstraite permet de restituer la clarté propre à l'analyse mathématique ; car, remarque Comte avec profondeur, l'analyse « est par sa nature, beaucoup plus claire... que ne le croient communément les géomètres euxmêmes, égarés par les objections vicieuses des métaphysiciens"^ ». Aucune difficulté sérieuse à introduire les quantités négatives dans l'algèbre, une fois qu'on a soigneusement distingué de l'interprétation concrète la signification abstraite, et qu'on a vu dans l'emploi de quantités affectées du signe /noins un « artifice analytique pour rendre les formules plus étendues'^ ». Aucune difficulté non plus dans l'utilisation de « symboles singuliers » comme les expressions dites imaginaires dès qu'on a su « envisager ces résultats anormaux sous leur vrai point de vue, comme de simples faits analytiques. En les concevant ainsi, il est aisé de reconnaître, en thèse générale, que l'esprit de l'analyse mathématique consistant à considérer les grandeurs sous le seul point de vue de leurs relations, et indépendamment de toute idée de valeur déterminée, il en résulte nécessairement pour

1. P. 38"). On peut comparer à ce texte le passage correspondant de Vlntrodiiclion fondamentale {Syst'cme de politique positive, I, 324). Comte y revient sur l'étude des lois de l'équilibre et du mouvement des températures, qui « sous les prétendus successeurs de Fourier, n'a guère servi qu'à multiplier de vains exercices algébriques, où l'on ne trouve point ce sentiment de la vraie subordination de l'abstrait au concret, qui caractérisa surtout l'immortel fondateur de la thermologie mathématique ». La corrélation est devenue subordination. Il y a également lieu de noter que cette subordination est envisagée par Comte dans un sens inverse de celle qui avait servi, huit ans plutôt, <'i définir la géométrie analytique aux premières lignes de son Traité élémentaire. « La géométrie analytique telle que Descartes l'a" fondée est essentiellement destinée à généraliser le plus possible les diverses théories géométriques, d'après leur intime subordination à des conceptions analytiques. »