Vide supra

metrie zii Grande liegen (1854), montre commenl s'est accomplie la dissociation entre éléments jusque là indissolublement unis. Riemann part de notions purement analytiques; il cherche à construire le concept le plus général de l'espace en déterminant les diverses formes de relations métriques susceptibles de s'établir entre des multiplicités d'éléments, et qui caractériseront chaque espèce de multiplicité. Ainsi on peut faire intervenir d'abord le nombre des dimensions. Il s'agira de pousser plus loin la discrimination des types spatiaux : le procédé de Riemann consiste à considérer l'espace dans l'infiniment petit, au lieu de se donner d'un coup l'espace infini. Il prend pour base l'élément de distance linéaire, « qu'il suppose exprimable sous la forme ds = \l^dij,dxidxh ; ^ » de sorte que le problème de la constitution d'ïine géométrie métrique se pose alors dans les termes suivants : à quelle condition la mesure de distance demeuret-elle la même, quel que soit le lieu où elle s'opère? Pour le résoudre, Riemann introduit la notion de la courbure de V espace — notion originale sans doute, mais dont la constitution a été rendue possible parles travaux de Gauss sur la courbure propre des surfaces 2. En généralisant cette notion, en l'appliquant à l'espace, et en particulier à notre espace à trois dimensions, Riemann est en possession des relations métriques intrinsèques qui rendent possible le déplacement d'une figure sans déformation, qui satisfont à ce qu'Helmholtz appellera plus tard V axiome

1. Klein, Conférences sur les Mathématiques (Chicago, 1893), tr. Laugel, 1898, p. 86.

2. Disquisitiones générales circa superficies curvas, (1827). Œuvres, IV, 219 et suiv. Voici comment on peut, avec M. Lechalas. présenter l'idée de la courbure propre : <■ Si, ?ur une surface, on limite une région par une courbe fermée quelconque et si, par le centre d'une sphère de rayon 1, on mène des parallèles aux normales ou des perpendiculaires aux plans tangents à la surface aux divers points de la courbe, la surface de la région découpée sur la sphère par l'ensemble de ces droites est [par rapport à la portion de surface comprise à Vintérieur de la courbe] ce que Gauss appelle la courbure intégrale de la région considérée sur la surface donnée. Si maintenant cette région se resserre indéfiniment autour d'un point M, la limite vers laquelle tend cette courbure intégrale, limite indépendante de la loi suivant laquelle s'évanouit la région considérée, est la courbure de la surface au point M, sa courbure totale, pour employer l'expression généralement adoptée. On sait que, parmi toutes les courbes tracées sur la surface par le point M, il en est deux, rectangulaires l'une à l'autre, dont les rayons de courbure, dits principaux, sont l'un maximum et l'autre minimum. Si donc on considère un élément de surface rectangulaire, ayant ses côtés parallèles aux directions principales, on voit que la courbure totale est égale à l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux. Suivant que ces deux rayons sont de môme sens ou de sens opposés, la courbure est positive ou négative. » La courbure et la distance en géométrie générale. Revue de métaphysique, 1896, p. 195.

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de libre mohililé. Or ces relations correspondent à un cadre plus large <|ue le type euclidien de Tespace: dans la géométrie euclidienne la courbure de l'espace est partout nulle, il suffit à l'existence dune géométrie mélricjue cpie Tespace ait une courbure partout constante. Riemann conclut donc : « les multiplicités dont la courbure est partout égale à zéro, peuvent être considérées comme un cas particulier des multiplicités de courbure partout constante ' ». Dans ces espaces la somme des angles d'un triangle rectiligne ne sera pas égale à deux droits; mais elle est déterminée en fonction de la surface pour tout triangle quand elle l'est dans un seul. Si la courbure constante est négative, la somme des angles du triangle est plus petite que deux droits, et Ton retrouve ainsi, comme Beltrami l'a fait voir-, la géométrie dont Lobatschewsky etBolyai avaient étudié les propriétés. Si la courbure est positive, la somme est plus grande que deux droits; on obtient une géométrie où les triangles jouissent de propriétés analogues aux triangles sphériques, où les lignes géodésiques ont deux points communs, comme les arcs des grands cercles sur une sphère, où l'espace enfin est illimité sans être infini; et ce sera la géométrie de Riemann.

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192. — L'établissement de la géométrie riemannienne achève de remplir le programme que la logique rigoureuse de Saccheri avait tracé. Du même coup, il fait évanouir le rêve qui avait été celui de Saccheri et de tous les méta-euclidiens si nous entendons par là ceux qui, poussant plus loin qu'Euclide l'œuvre de réduction logique, prétendaient rendre raison de tout et même des principes de la géométrie. Il justifie définitivement Euclide et les Euclidiens. Nous pouvons même ajouter qu'il justifie une des thèses essentielles du kantisme. M. IMansion, qui considère la géométrie non euclidienne comme une réfutation par le fait de la Critique de la raison pure, remarque pourtant qu'il est arrivé à Kant de parler le langage du pur riemannien ^ : dans les Postulats de la pensée empirique^ Kant fait observer qu'il n'y a aucune contradiction dans le concept d'une figure comprise