Prop., XXXIX, SchoL, p

2. Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigou- \ reuse des parallèles (Collection des travaux géométriques de Lobatscheswky, ; Vol. II, p. 618). '

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« parce qu'on ne rencontre aucune conlradiclion dans les conséquences <ju'on eu a déduites; et que les mesures directes des anj^les des triangles rectilignes s'accordent, dans les limites des erreurs des mesures les plus parfaites, avec ce théorème', »

A la première condition satisfera également le système de géométrie où la somme des angles d'un triangle rectilignc est moindre que deux droits; reste donc le critère de l'expérience qui pourrait, suivant Lobatscliewsky, devenir décisif si l'on considérait dans l'espace des triangles dont les côtés soient très grands -.

En attendant, et du point de vue logique, la géométrie euclidienne et la géométrie nouvelle doivent être retenues toutes deux. Lobalschc\vsky abandonne la première dénomination de géométrie imaginaire, qui avait l'inconvénient de paraître aux yeux des philosophes reléguer dans le domaine des fictions la science naissante, en même temps que pour les mathématiciens elle évoquait les problèmes d'apparence inextricable auxquels ils se heurtaient alors pour l'introduction des quantités imaginaires. Il substitue à la géométrie imaginaire la Pangéométrie, c'est-à-dire l'idée d'une « théorie géométrique générale qui comprend la géométrie ordinaire comme cas particulier-^ ».

191. — La Pangéométrie ne comporte pas de place pour le système où la somme des angles du triangle rectiligne surpasserait deux droits; Lobatscliewsky croit même l'avoir exclu par une démonstration formelle^. C'est que, conformément d'ailleurs à ce que pouvaient faire prévoir les recherches de Saccheri qui en jugeait la réfutation plus aisée, l'hypothèse de l'angle obtus devait être plus difficile à réaliser. L'effort d'abstraction est tout autre, du moins pour le géomètre, puisqu'il demande de mettre en question non plus une propriété déterminée et indémontrable des parallèles, mais l'existence môme des parallèles. Il faut concevoir une surface plane où les droites peuvent avoir deux points communs, comme les arcs des grands cercles tracés sur une surface sphérique; alors que la proposition contraire, introduite comme postulat dans les Eléments d'Euclide ^ avait toujours paru à l'abri de la contestation. Le mémoire de Riemann, Ueher die Hgpothesen welche der Geo-