Ibid

tème spatial que Ton dérive de la constitution artificielle d'un domaine algébrique, suffise pour apporter une solution positive aux problèmes de la philosophie ; et les mathématiciens ne le prétendent assurément pas. M. Mansion, qui a tant de fois invoqué contre Kant l'autorité de Gauss, de Lobatschewsky, de Riemann, refuse à la géométrie non archimédienne de M. Hilbert la dénomination de géométrie : « Supposer que les distances ne sont pas des grandeurs, c'est supprimer la géométrie ^ »

La difficulté que signale M. Mansion ne saurait être tranchée par des considérations purement techniques. D'une part, on voudrait demander aux recherches de la métagéométrie de nous instruire sur la nature de l'espace; d'autre part, pour savoir dans quel cas ces recherches demeurent à l'intérieur du domaine de la géométrie et dans quel cas elles en sortent, il faut déjà posséder une notion de l'espace.

Mais ce qu'il est permis d'affirmer à titre définitif, c'est le caractère complexe de cette science euclidienne où l'on s'est plu pendant des siècles à voir le modèle de l'homogénéité rationnelle. Elle unit en elle les deux éléments d'ordre et de mesure que Descartes proposait comme objets à la mathématique. Chacun de ces éléments peut être cultivé à part, et donner naissance à des disciplines particulières.

Sans que nous devions suivre ici le développement de ces disciplines, il suffira pour notre objet de rappeler que, si avec Kant, on insiste sur l'intuition originale de l'espace comme déterminant la nature spécifique de la géométrie, il convient de faire une place aux différents types de géométrie non métrique : géométrie projective qui considère entre les éléments spatiaux les liaisons de direction et d'intersection, — géométrie de position ou Analysis situs qui ne retient que l'ordre de distribution, la relation d'entre. D'autre part, si avec Comte on voit dans la réduction des relations spatiales aux relations abstraites de l'algèbre la marque de la généralité dont la géométrie est susceptible, il convient de tenir compte de nouveaux types de calcul géométrique, tels que la théorie des quaternions de Hamilton, ou le calcul de Vextension de Grassmann -.

1. Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XXIX, 1905, p. 200. Cf. Poincaré, Journal des Savants, 1902, p. 262: «La géométrie non euclidienne respectait pour ainsi dire notre conception qualitative du continu géométrique tout en bouleversant nos idées sur la mesure de ce continu. La géométrie non archimédienne détruit cette conception; elle dissèque le continu pour y introduire des éléments nouveaux. »

2. Macfarlane, Les idées et les principes du calcul géométrique. Bibliothèque du Congrès international de philosophie (Paris, 1900), t. III, 1901, p. 403 et suiv.

Li; IMIOBLKMK Al' XVIir SIECLE

Section C. — L'analyse et la continuité.

LE PROBLÈME AT XVIIl" SIÈCLE

194. — En ce qui concerne Tanalyse, comme en ce qui concerne la mécanique rationnelles et la géométrie, nous chercherons à marquer les points de rupture entre les conceptions kantienne ou comtiste de la science, et la conception actuelle. Pour cela nous devrons nous attacher surtout à l'évolution de l'idée de continuité. Le spectacle est d'ailleurs l'un des plus instructifs que puisse fournir l'histoire de la pensée. Dans une science où il ne s'agit que d'idées pures, on voit une nécessité intrinsèque jaillir de la nature de ces idées, brisant les cadres que l'esprit s'était imposés à la suite de ses premiers succès, secouant la paresse dogmatique qui est l'attitude naturelle de l'homme, et par les difficultés mômes qui sont nées du progrès scientifique contraignant de substituer aux synthèses confuses de l'intuition l'analyse claire el rigoureuse, fondement de la rationalité vraie.

Les mathématiciens du xviir" siècle s'étaient efforcés de fournir la justification métaphysique du calcul infinitésimal; et ils avaient échoué. Mais pratiquement ils se sentaient sur un terrain solide : ils étendaient au domaine transcendant la corrélation entre la formule analytique et la représentation géométrique, corrélation qui était le principe de la science cartésienne. D'une part, la solidarité de la fonction et de la variable, qui se manifeste dans l'ordre abstrait par la connexion entre les accroissements infiniment petits de celle-ci et les changements infiniment petits de celle-là, trouve sa confirmation et son illustration dans la continuité de l'espace et du temps. Réciproquement, la continuité spatiale s'éclaire, ou tout au moins elle se limite pour l'usage mathématique, si on lui imposé d'exprimer Punité d'une fonction. C'est ainsi qu'Euler considère comme continues les courbes qui se traduisent analytiquement à l'aide d'une seule et même fonction \ c'est-à-dire qui obéissent à une loi constante. Lorsque les courbes sont telles que leurs différentes portions ont pour expressions des fonctions différentes de X, elles sont discontinues, c'est-à-dire « mixtes et irrégulières » ; elles échappent aux prises directes de l'analyse, qui est dès l'abord restreinte à la sphère de la continuité ainsi définie.

Cette conception d'Euler se précise si l'on se rapporte au

1. Introductio in Analysin infinitorum, Lausanne, t. II, 1748, p, 6.

débat ouvert par les recherches de d'Alembert sur « la courbe que forme une corde tendue mise en vibration ». D'Alembert avait indiqué une solution « pour les cas où les difïérentes figures de la corde vibrante peuvent être renfermées dans une seule et même équation' ». Daniel Bernoulli, d'autre part, reprend l'examen synthétique de la question^; il s'attache particulièrement à l'expression mathématique du « mélange de vibrations » auquel correspond le phénomène des sons harmoniques, et il aboutit à cette conclusion que « la courbe de la corde vibrante est toujours une trochoïde [ou sinusoïde] allongée, ou un composé de pareilles trochoïdes, quelques figures initiales que l'on ait données à la courbe ^ ». Autrement dit « si au temps / les coordonnées {x, y) des points de la corde [de longueur 1] vérifient l'équation

â#= 1^-5^ (inconstant).

Bernoulli montra... que l'équation est satisfaite par des produits de sinus et de cosinus, ce qui l'amena à prendre comme intégrale générale la série

* / HTiaf , . m:tj.t\ . nizx y= ^ la,j cos — ^^ ho„sin — r^— 1 sm

Pour i = o, cette relation devait donner la position initiale de la corde. Cette position était arbitraire : une fonction arbitraire pouvait donc être représentée par une série trigonométrique * ». Mais cette conclusion ne pouvait manquer de heurter les contemporains de Bernoulli : comment une série qui est une

transcendante périodique, pourraitelle représenter des fonctions non périodiques? Aux yeux d'Euler, « la Fig. 12. solution tirée de la combinaison des

trochoïdes ne saurait être regardée que comme très particuHère^ ». La condition nécessaire pour que l'on puisse comprendre une courbe dans une équation, c'est