A, 220. AKB, IV, 14G. Ba, I, 280 et TP

2. La philosophie de la règle et du compas, théorie logique du jugement dans ses rapports et ses applications aux idées géométriques et à la méthode des géomètres. Année philosophique, 2' année (1891), 1892, p. 22.

LES METAGEOMETRIES 323

proposition première? On se fera une loi d'analyser tous les éléments dont se compose l'intuition spatiale, et de les soumettre à la même épreuve que l'idée des parallèles; on se demandera quels axiomes correspondent dans la géométrie classique à chacun de ces éléments; cl, excluant par l'hypothèse tel ou tel de ces axiomes, on étudiera le système de relations qu'il est possible de constituer encore dans cette hypothèse. C'est ainsi que, pour M. Hilbert, la géométrie générale, dont Lobatschewsky croyait avoir atteint le terme, que l'on a ensuite étendue à la considération des trois types d'espaces métriques, doit épuiser toutes les relations dont la géométrie a le devoir de donner « une description exacte et complète », relations « désignées par des mots tels que sont situés, entre, parallèles, congruent, continu^ ».

Lesgéométries non euclidiennes déjà constituées ne sont donc que des cas particuliers de la métagéométrie. Par exemple, pour prendre la tentative la plus audacieuse de M, Hilbert, on pourra écarter du groupe des axiomes fondamentaux Vaxiome d'Archimède auquel M. Hilbert donne aussi le nom d'axiome de continuité- : soit un segment linéaire AB et un segment AAj pris sur la même droite, Ay étant entre A et B, il est toujours possible d'obtenir par l'addition de segments égaux A^, A^, A3, etc. l'inégalité A A„ > AB. jM. Hilbert conçoit un système numérique complexe {/), dont deux nombres 1 et t, tous deux > 0, « jouissent de cette propriété qu'un multiple quelconque du premier sera plus petit que le second de ces nombres-^ ». En faisant correspondre à ce système de nombres complexes des conventions « relatives à la distribution des éléments ainsi qu'au déplacement des segments et des angles », on arrive à concevoir entre un segment / et un segment 1 une relation telle qu'on puisse faire « glisser le segment 1 bout à bout une infinité de fois sans jamais arriver à atteindre l'extrémité du segment t; or, cela est en contradiction avec l'axiome d'Archimède ^ ».

La dissociation pourrait difficilement être poussée plus loin. Il convient seulement de prendre garde à en apprécier exactement la portée. Il n'est pas sur que l'évocation idéale d'un sys-

1. Les principes fondamentaux de la géomclrie, tr. Laugel, 1900, p. 24.

2. A l'égard de cette dénomination il n'est pas inutile de rappeler cette remarque importante de M. Veronese que, pour rendre complètement compte de la continuité géométrique, il faut introduire encore un autre postulat, de la forme suivante : « Tout segment, même variable, contient un point distinct de ses extrémités. » Les postulats de la géométrie dans renseignement. Congrès des mathématiciens, Paris, 1900, p. 449.