Euler, Mémoires de l'Académie de Berlin, 1733, p
LA CONTINI'ITK CIIKZ PONCELET 327
« que la ne^nrc ADB (fi<>-. 12) soil Icllo (|ue sa conlinuaLion naturelle cnlraîiîo toutes les autres parties réitérées. >> Or, la trochoïde de Bernoulli ne satisfait pas à cotte condition : « Les difîérentes parties semblables de cette courbe ne sont liées entre elles par aucune loi de continuité, et ce nest que par la description qu'elles sont jointes ensemble '. »
LA nONTINUITE CHEZ PONCELET
193. — Ainsi, et c'est tout ce que nous pouvons retenir du débat, les mathématiciens du xviir siècle ont eu le sentiment que, fondée sur la notion tout intuitive de la continuité, l'analyse risquait de demeurer inadéquate ii la complexité des phénomènes naturels; mais ils n'ont pas réussi à briser le cercle où ils étaient enfermés.
Il y a plus; et afin de saisir dans sa portée et dans son originalité l'idée qui a transformé la physionomie de l'analyse, il convient de s'arrêter encore au stade de la continuité intuitive, et d'insister sur le parti que Poncelet a su en tirer pour l'extension des méthodes géométriques. L'épisode est inattendu dans l'histoire de la science. L'analyse, au commencement du xix" siècle, apparaît constituée sur la base de la continuité spatiale. Par un mouvement tournant d'une audace extrême, Poncelet va demander à l'analyse d'étendre et de féconder la science même de l'espace pour les cas particuliers où l'expérience spatiale de la continuité se dérobe; il emprunte à l'analyse la notion de la continuité idéale, qu'il substitue à la discontinuité réelle de certaines images spatiales, et il proclame ainsi un certain axiome de continuité qui lui permet de reprendre la géométrie descriptive de Monge, et de l'élargir jusqu'à en faire une science presque toute nouvelle : la géométrie projective.
La définition et la genèse de cet axiome de continuité sont indiquées avec la plus grande netteté dans une lettre de Poncelet à 0. Terquem, du 23 novembre 1818 : « L'axiome jusqu'ici examiné n'est, au fond, quand on le considère sous un certain point de vue, que le principe de permanence, ou continuité indéfinie des lois mathématiques des grandeurs varial^les par succession insensible, continuité qui, pour certains états d'un même système ne subsiste souvent que d'une manière purement abstraite et idéale -. »
