LIVRE V L'ÉVOLUTION DE L'ARITHMÉTISME

202. — En retraçant les dilîérentes étapes que la pensée antique a parcourues, nous avons assisté à la formation de trois édifices logiques qui ont attesté par leur persistance séculaire la solidité de leur structure : logique du nombre, logique des classes, logique des relations spatiales.

Sur la logique du nombre s'est établie la spéculation arithmético-géométrique des Pythagoriciens, qui fut compromise par la découverte des irrationnelles.

La logique des classes, calquée de près sur l'analyse des formes grammaticales et confirmée par le succès des premières classifications naturelles, fut interprétée comme une logique générale, qui planait au-dessus des sciences particulières et présidait à toutes les opérations de l'esprit humain.

La logique d'Euclide et d'Archimède, où l'intuition spatiale était utilisée pour la constitution des définitions initiales et pour la mise en forme des axiomes et des postulats, est celle dont les mathématiciens modernes reçurent l'héritage, dont ils cherchèrent à approfondir les principes, en les épurant et en les étendant tout à la fois. Du Discours de la Méthode au Cours de philosophie positive nous avons suivi les vicissitudes de cette logique. Nous avons montré comment elle avait survécu aux tentatives provoquées par la découverte du calcul infinitésimal en vue de constituer une logique de l'analyse mathématique, qui fût indépendante de l'intuition spatiale, de l'expérience de la continuité. L'espace demeure avec Kant le médiateur néces- •saire, avec Comte un médiateur privilégié, pour la connexion des rapports abstraits qui constituent la science et des faits empiriques qui constituent la réalité.

Or les progrès de la science positive ont renversé ce qui était Tune des bases de la philosophie critique et du positivisme : la géométrie n'est pas la science d'un espace unique qui serait nécessairement le réceptacle des phénomènes; l'analyse mathématique a un objet qui ne se subordonne pas aux lois de la représentation spatiale; le mathématicien ne se confond plus avec le géomètre; la logique de l'espace ne suffît pas à porter le poids de la science. |

Il était naturel dès lors que la philosophie mathématique se rejetât sur les positions que la pensée moderne avait abandonnées en croyant les avoir dépassées pour toujours, que la logique du nombre ou la logique des classes fussent invoquées à nouveau pour soutenir l'édifice de la mathématique. De là un spectacle paradoxal : les doctrines de philosophie mathématique qui, de nos jours, sont le plus fortement constituées, se présentent comme des restaurations ou des renaissances des métaphysiques antiques : néo-pyihagorisme on néo-aristotélisme.

Nous ne croyons pas que l'antiquité de cette origine suffise à créer un préjugé contre les doctrines, que nous avons maintenant à examiner; elle serait au contraire de nature à mettre en lumière la permanence des notions fondamentales sur lesquelles ces doctrines s'appuient. Renouvier ou Méray justifient rétrospectivement Pythagore, et inversement ils sont justifiés par lui. De même M. Frege et M. Russell justifieront rétrospectivement Aristote, et ils seront justifiés par lui. '

Il n'en est pas moins important d'avoir bien compris la genèse,/ et d'avoir retenu la date de naissance, des notions pliiloso-^phiques auxquelles se réfèrent Variihmétisme moderne ou la; logistique contemporaine. Ces doctrines ont institué des rapprochements séduisants entre certaines théories nouvelles dans la science, telles que Varithmétisalion de l'analyse ou la théorie des ensembles, et certains principes consacrés dans la philosophie ancienne. Mais il pourra se faire qu'elles aient rencontré des dii'ficultés dans l'extension et dans l'application de ces principes. Il pourra même arriver que ces difficultés soient celles-là mômes auxquelles le dogmatisme arithmétiste des pythagoriciens ou le réalisme ontologique de la scolastique aristotélicienne s'étaient déjà heurtés. Dans ce cas, il nous sera plus facile de faire le départ entre les difficultés qui sont effectivement soulevées par la technique de la science actuelle, et celles qu'on a réintroduites dans la spéculation moderne parce qu'on a eu l'imprudence de reprendre les postulats du réalisme antique. Nous sommes donc avertis : lorsque Méray établit

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(Milro le calcul des nombres entiers et le calcul des nombres irralioiinols une séparation radicale qui fait de lun une science véritable, de l'autre une combinaison de symboles fictifs; lorsque le finitisme d'un Renouvier ou d'un Evellin renouvelle contre l'interprétation positive des mathématiques modernes loules les subtilités et tous les paradoxes d'un Zenon d'Elée; ou encore, lorsque la combinatoire abstruse et profonde d'un Frege viendra échouer devant l'impossibilité de constituer une classe avec la totalité des classes, lorsque la dialectique d'un Russell aura pour résultat de réveiller Epiménide d'un sommeil qu'on pouvait croire éternel, et de lui faire débitera nouveau le sorite du menteur, il y aura lieu de demander si les embarras inextricables auxquels ils s'exposent sont objectivement liés aux conquêtes de la science moderne, ou si ce n'est pas une nécessité logique, dont on peut déjà retrouver les traces dans l'histoire, qui fait surgir à nouveau les conséquences inhérentes à la métaphysique de l'antiquité.

Et l'avertissement aurait d'autant plus de portée qu'il atteindrait, en même temps que les disciples attardés de Pythagore ou d'Aristote, ceux de leurs adversaires qui ont accepté de discuter les problèmes dans les termes où pythagoriciens et aristotéliciens les posaient, qui, se soumettant à l'alternative d'où les écoles du moyen âge n'ont pu s'échapper, se sont crus tenus de répondre au dogmatisme et au réalisme par le nominalisme et par le scepticisme.