Premier Essai, édil. citée, p

LK PASSAGK Ai: NOMINALISMF. 363

poiiL iHrc plus peliLcjuc a. En d'aulres termes, nous voyons bien qu'en refusant de faire de cette proposition : Le tout est plus grand que la partie, une norme du jiossible, im critère du réel, on contredit aux règles qui conviennent au calcul des entiers positifs et finis; mais on n'a pas le droit de conclure de là qu'on tomberait dans une contradiction intrinsèque et absolue'... à moins d'ériger l'arithmétique élémentaire en science universelle, et il'assimiler les principes qui la régissent aux lois nécessaires de la logique.

Chose piquante d'ailleurs, cette assimilation de la vérité arithmétique et de la vérité logique se produit sur le point précis où il y a une divergence radicale entre l'arithmétique des nombres finis et le calcul logique des classes. Si j'ajoute 5 et 7, la somme 12 est plus grande que chacune de ses parties; mais si j'ajoute la classe des Français et la classe des Normands, la somme des deux classes n'est nullement plus grande que chacune des pai'ties. Dès le dix-septième siècle d'ailleurs, Leibniz avait mis cette remarque en évidence, lorsqu'il formulait la loi dite de tautologie^, et qu'il en marquait expressément l'application à l'addition des classes : dans ce qu'il appelle le « calcul alternatif », où la composition des éléments se fait suivant l'ordre de l'extension logique, « il n'y a pas à tenir compte de la composition d'une lettre avec elle-même ^ ».

Mais, en interrogeant l'arithmétique élémentaire elle-même, on voit se dérober la base sur laquelle était établie la loi du nombre. Si l'arithmétique nous apprend à compter, n'est-il pas évident qu'elle demeure indifférente à la question, qui la dépasse et qui nous dépasse, de savoir si nous pourrons jamais avoir fini de tout compter? Il convient d'aller plus loin : même si nous accordons que les problèmes posés par la nature des choses doivent se résoudre par le seul calcul des nombres entiers, nous retrouverons dans la suite naturelle de ces nombres l'infini, que l'on prétendait exclure au nom de l'arithmétique : « La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire mystère en mathématique, se réduit à ceci : après chaque nombre entier il g en a un autre''. »

1. Voir Milhaud, Essai sur les conditions et les limites de la certitude logique, 1894, p. 198 ot suiv.

2. « Si idem secum ipso siimatur, nihil constituitur novuni, seu A -{- A. = A. » G, VII, 230.

3. Math. I, 2(j. a. (vers 1683). Opuscules et fragments inédits, édit. Couturat, p. .5.56. Cf. Couturat. La logique de Leibniz, p. 344.

4. Jules Tannery : Introduclionà la théorie des fonctions d'une variable, i'" édit. 1886, p. VIII. Cf. L'infini mathématique. Revue générale des sciences, 1897,

La même raison subsistant toujours, comme disait Leibniz, on ne peut pas poser deux après un sans avoir déjà impliqué l'infini dans la notion de deux, de même que, partant de l'unité pour

concevoir la fraction -, on ne peut pas se refuser à la divisibilité indéfinie qui conduite faire de Tunité, suivant la remarque curieuse de Galilée, le type du nombre infini'.

Pour nous, la « loi de nombre » n'a donc pas plus de racine dans l'arithmétique que dans la logique. Elle a eu sans doute sa cause occasionnelle, d'ordre négatif, dans les difficultés que rencontrait dans les premières années du xix*^ siècle l'exposition du principe et des applications du calcul infinitésimal; et Renouvier lui-même indique que l'idée « pivotale » de sa doctrine a procédé « d'une méditation prolongée sur le sens, et sur la seule justification rationnelle possible, des méthodes transcendantes en géométrie. ^ » Mais nous serions disposé à chercher la raison positive de la solution dans l'atmosphère scientifique oîi baignait la pensée de Gauchy et de Renouvier. La conception chimique qui a dominé de Dalton à Jean-Baptiste Dumas, et qui ramenait au cœur de la science expérimentale moderne les théories spéculatives d'un Pythagore ou d'un Démocrite, serait l'inspiratrice inconsciente, mais véritable, du finitisrae; elle seule, en tout cas, nous paraît capable d'expliquer l'identification immédiate que Renouvier établit entre l'idée générale de relation et le rapport déterminé de composition, identification qui est le principe du néo-cri ticisme et qui en conduit le développement jusqu'à la Nouvelle Monadologie.

Or, tandis que le progrès des sciences physico chimiques au cours du xix« siècle, affranchissait les esprits du finitisme atomistique, le succès de l'œuvre inaugurée par Gauchy faisait voir que les diverses parties de l'algèbre ou de l'analyse pouvaient être exposées en toute rigueur à l'aide d'un double système de conventions, portant sur les définitions des expressions (fractionnaires, négatives, imaginaires, irrationnelles) et sur les opérations qui en permettent le calcul.

Dès lors la conclusion s'imposait : ce qui suffit pour l'algèbre et pour l'analyse devra suffire pour l'arithmétique. Au nom du principe d'économie dont les savants du xix" siècle se plaisent à invoquer l'autorité, il faudra écarter de la notion de nombre tout

p. 131" : « Quelque conception qu'on se fasse du nombre entier, cette conception implique déjà l'idée de l'infini, et cela d'une façon nécessaire. »

1. Discorsi e demostrazioni {[QZS). Rdit. nationale, t. VIII, p. 83.