Molk, Mémoire cité, Acta mathcmatica, t. YI, p
ment soit à une réalité de la nature, possède une vérité intrinsèque et nécessaire; mais cette vérité, liée à l'intégrité et à la positivité du nombre proprement arithmétique, est incapable de se transmettre aux formes généralisées sur lesquelles se fondent l'algèbre et l'analyse. La conception de la vérité, qui en avait été l'âme, abandonne la théorie arithmétisante, dès qu'il s'agit de comprendre la valeur inhérente aux disciplines mathématiques qui attestent le mieux, avec la fécondité de l'esprit spéculatif dans les sciences, son aptitude à envelopper dans le réseau de ses relations l'ampleur et la subtilité des phénomènes naturels. — Ou bien toutes les parties de la mathématique abstraite ont effectivement pour le savant le même caractère d'exactitude et de rigueur. Une théorie de la science, respectueuse de la réalité qu'elle doit interpréter, est tenue de rétablir l'égalité de niveau entre les différentes disciplines de l'arithmétique, de l'algèbre ou de l'analyse. Mais il est évident que cette égalité ne peut être atteinte que sur le niveau le moins élevé. Le nombre entier serait alors absorbé dans les formes généralisées, dont il deviendrait un cas particulier; il participerait à leur caractère symbolique; la mathématique abstraite deviendrait tout entière une création conventionnelle et arbitraire.
La juxtaposition des nombres naturels et des expressions artificielles ne constitue donc qu'un arrêt provisoire dans le mouvement de l'arithmétisme. Il faudra qu'il remonte jusqu'au réahsme des Pythagoriciens, ou qu'il descende la pente du nominalisme et du scepticisme.
214. — Or, l'alternative étant ainsi présentée, ce que nous avons déjà dit de la formation et de l'évolution de l'arithmétisme fait prévoir que les savants du xix<= siècle devaient inévitablement prendre le second parti. En dépit de l'autorité de Cauchy, il est clair, en effet, que ni la logique ni l'arithmétique elle-même n'étaient intéressées dans la prétendue loi de nombre.
La proposition : Le tout est plus grand que la partie, insérée dès l'antiquité parmi les notions communes de la géométrie \ peut être regardée, selon Renouvier, « comme un jugement analytique ou d'identité. Mais il faut, ajoute-t-il, que l'idée du tout soit prise dans son sens rigoureusement et exclusivement mathématique - ». Gela ne suffit pas encore : il faut que le sens mathématique soit restreint à l'arithmétique des nombres positifs; car déjà pour les nombres négatifs, l'axiome est en défaut : a-^-b
