L EXPOSITION NOMINALISTE

213. — Telle est la tâche dont Helmholtz s'est acquitté dans son mémoire de 1887 : Zahlen und Messen erkenntnisstheoretisch belraclilel : « Nous pouvons considérer les nombres comme étant une série de signes arbitrairement choisis, mais auxquels nous appliquons un mode déterminé de succession à titre de succession régulière ou, suivant l'expression habituelle, de succession naturelle -. » Encore convient-il de ne pas se laisser tromper par l'équivoque de l'expression : ce qui pourrait être naturel, c'est le dénombrement, die Anzahl, de réalités données. La science des nombres n"a jamais à faire à rien de tel : l'ordre des signes numériques est aussi conventionnel que l'ordre des lettres dans les diverses langues; ordre qui, une fois adopté et employé d'une façon constante, prend également une apparence normale et régulière.

Comme le disent spirituellement MM. Le Roy et Vincent, «nous créons une infinité de petits dessins, que nous appelons des signes, bien qu'ils ne désignent rien, se succédant régulièrement d'après une loi de formation que nous allons indiquer. Les premiers sont donnés individuellement :

1. Cf. Poincaré, Journal des Savants, 1902, p. 260 : « Qu'est-ce que les nombres? Ce sont avant tout des éléments que nous savons distinguer les uns des autres; nous savons en outre définir la somme ou le produit de deux de ces éléments, et enfin nous avons des règles pour reconnaître entre deux nombres quel est le plus grand et quel est le plus petit. Voilà ce que nous devons considérer comme essentiel; mais il est clair que, si nous regardons ces règles comme des conventions, nous pouvons appliquer ces conventions à d'autres éléments qu'à nos nombres ordinaires et que nous pouvons même changer ces conventions dans une mesure plus ou moins grande. C'est ainsi que la notion de nombre peut s'élargir presque indéfiniment. »

2. Apud Philosophische Aufsatze Eduard Zeller gewidmet, Leipzig, p. 21.

Ils sont d'ailleurs supposés rangés. Ceux-là écrits, nous faisons précéder chacun d'eux successivement de chacun d'eux sauf de celui qui est avant tous les autres... Il est clair qu'on peut prolonger indéfiniment ce jeu, puisque rien n'est capable d'imposer un arrêt à l'esprit dans une opération purement logique où n'intervient pas la considération de l'extérieur. Chaque signe de la suite créée est un symbole... Voilà ce qu'on appelle la suite des nombres entiers positifs. L'arithmétique n'est pas autre chose que le récit des opérations que l'esprit peut s'amuser à faire sur ces symboles ' ».

L'addition devra donc rentrer dans le cadre de l'énumération purement ordinale : «Par (a -h 6), je désigne le nombre delà série sur laquelle je tombe si je compte un pour (a-hl), deux pour (a -h 2), etc., jusqu'à ce que j'aie compté jusqu'à 6^. » Cette définition de l'addition permet d'en démontrer les deux lois essentielles ^ : loi associative, c'est-à-dire a + (6 + c) = (a -h 6) -f- c, et loi commutative, c'est-à-dire a~\- b = b-hc. Il est aisé en effet d'établir que ces lois sont vraies pour a= i; d'où l'on déduit qu'elles sont vraies pour a = 2, pour a = 3, etc.

Helmholtz a ainsi fondé la théorie des opérations arithmétiques, sans faire appel à aucune espèce d'intuition, sans former même l'idée d'une collection d'unités homogènes. Supposons maintenant que nous soyons en présence d'un groupe de termes distincts, tels que les lettres de l'alphabet grec jusqu'à s, nous pouvons faire correspondre à chacun des termes du groupe un signe de notre série ordinale et couvrir ainsi la série jusqu'à un nombre n. Il est facile de voir que je puis permuter dans le groupe des lettres l'ordre de deux lettres voisines sans rien changer au résultat de la correspondance; et, s'il en est ainsi je puis, en étendant cette permutation de proche en proche, me permettre n'importe quelle interversion. Pourvu qu'il n'y ait ni lacune, ni répétition, le même groupe, pris dans quelque ordre que ce soit, me donnera le même nombre; il sera dénonibré.

L'acte psychologique du dénombrement est parfaitement décrit; l'exactitude de cette description pourrait faire illusion sur la portée que lui confère effectivement la doctrine nominaliste, ou mieux conventionaliste, de Helmholtz. Il ne s'agit pas de fonder l'idée du nombre sur la correspondance de la série et de

1. Sur l'idée de nombre. Revue de métaphysique, 1896, p. 743.