LE TRANSFINI ET LE CONTINU

comparables à la suite des nombres entiers. Si grand que soit un entier n, il existe un (MitiiM- plus grand n -h 1 ; et de môme en vertu du procédé de foriiialion que nous envisageons, si rnpitloment que croisse une l'onction positive, il existe une l'onction qui croît encore plus vile.

Mais il est facile de voir que l'analogie n'est pas complète entre la suite infinie des nombres entiers et la suite infinie des, fonctions croissantes. Construisons un ensemble E de fonctions o{x) tel que « deux fonctions quelconques de cet ensemble soient comparables entre elles, et [que] de plus une fonction i;roissante quelconque de cet ensemble <\i{x) étant donnée, il existe dans l'ensemble une fonction cp(x) supérieure à '\i{x) ». Nous aurons alors ce que M. Borel appelle « une échelle de types croissants ' ». La formation de cette échelle va nous obliger à dépasser la sphère de l'ensemble à laquelle, par analogie avec l'ensemble des nombres entiers, on avait pu restreindre l'idée de l'indéfini (ce que M. Georg Cantor appelle Vensemble dénombrable). Elle impose, pour reprendre les expressions si nettes de M. Borel, « la nécessité logique d'étendre le sens du mot indéfinimenl; pour éviter toute confusion nous éviterons de modifier le sens de ce mot, et préférerons introduire le mot nouveau transfiniment . Répéter transfiniment l'application du procédé de du Bois-Reymond, ce sera la répéter chaque fois que l'on aura une infinité dénorabrable de types croissants, quel que soit le procédé par lequel on a obtenu cette infinité. Par conséquent, par définition même, on obtient ainsi une infinité non dénombrable de types; car, si l'on obtenait seulement une infinité dénombrable, on devrait encore appliquer le même procédé sans en rester là- ».

228. — Du Bois-Reymond s'est borné à suivre Tordre de l'analyse et de la science positive. M. Cantor, au contraire, organise les conceptions auxquelles il avait été conduit également par des recherches spéciales \ sur la base de l'idée la plus générale que le mathématicien puisse considérer; il arrive ainsi à présenter les distinctions fondamentales d'indéfini et de transfini comme les conséquences d'une construction a priori.

Pour M. Cantor Vensemble n'est rien de plus qu'une réunion d'éléments dont on sait seulement qu'un élément quelconque étant donné on peut reconnaître, ou tout au moins affirmer, que