Op. cit., tr. Milhaud-Girot, 1887, p

Si X croît indéfiniment par valeurs réelles positives, que devient/'(cc)?Toutd'abord, ilsepeul que la différence /"(xj — f{x), (x > X, et .T croissant indéfiniment), demeure inférieure à la quantité e, si petit que soit t, en d'autres termes qu'elle ait pour limite zéro; il est facile alors de démontrer que f{x) a une limite déterminée pour un accroissement indéfini de la variable. A ce cas s'appliquera donc un principe que du Bois-Reymond appellera, par analogie avec le principe qui régit les séries, princi])e général de convergence^.

Considérons, maintenant, les cas de divergence. Une fonction oui ne possède pas de limite déterminée, peut néanmoins, quand x croit indéfiniment, rester comprise entre deux quantités fixes qui marqueront les bornes d'une oscillation indéfinie, et que du Bois-Reymond appelle limites cVinclélermination-. Reste le cas où les fonctions croissent constamment et indéfiniment avec la variable. Ces fonctions dépassent toute limite; il ne s'ensuit nullement qu'elles échappent au calcul, et c'est ici que les recherches de du Bois-Reymond deviennent le plus originales et le plus profondes. En effet, par une nouvelle analogie avec les règles de divergence dans la théorie des séries, nous pouvons établir une comparaison entre ces fonctions indéfiniment croissantes, et déterminer des degrés dans la vitesse de croissance. « On dira que f [x) croît plus rapidement que cû {x), si, à partir d'une valeur X suffisamment grande de x, f{x) > cp {x) et si la différence f [x) — o {x) augmente avec x. Les applications, ajoute du Bois-Reymond, donnent à cet accroissement diversement rapide des fonctions un intérêt particulier si la fonction f {x) qui croît le plus vite présente une

f(x) supériorité de vitesse telle que le quotient ^jj-i croisse également sans limite ^. »

Ce sont ces considérations qui serviront de base au calcul infinilaire. Par exemple, on pourra ranger les fonctions de x, en une série

telle que chacune ait un infini plus grand que toutes les précédentes et que toute fonction entrant dans la suite y ait une place déterminée *. Nous obtenons ainsi une suite de fonctions