LE TRANSFINI HT LK CONTINU

(0 -f- 1 , to -f- 2, • . . (o -h /j ; iioj, 2w -h 1 ... ; 3oj . . . ; no). (i)«), (.)'", (o'", (o""^", (.)" , (O , (-) , etc.

Les suites intinimenl inlinies des nombres de la deuxième classe n'ont, jias plus que ceux de la première classe, de nombre maximum; elles impliquent par conséquent Texistence d'un nombre qui exprime la totalité de leurs termes et qui est supérieur à chacun d'eux; de là un troisième principe de formation'.

M. Gantor rencontre ainsi dans l'abstrait les idées que l'analyse de du Bois-Reymond avait permis de poser comme « faits mathématiques - ».

229. — L'originalité de M. Cantor se manifestera surtout dans les résultats auxquels conduit dans l'étude de l'infini l'usage systématique de la notion de puissance.

Considérons l'ensemble infini le plus simple, celui qui est formé par la suite des nombres naturels :

A chaque entier correspond un nombre double, de telle sorte que l'ensemble des nombres pairs est équivalent à l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des nombres impairs est équivalent à l'ensemble des nombres pairs. 11 y a plus : un nombre rationnel comporte la détermination de deux entiers, numérateur et dénominateur; en disposant un tableau à double entrée, qui comprend à partir d'un point déterminé une file verticale et une file horizontale de nombres entiers, on peut arriver à faire correspondre chacune des combinaisons de deux nombres à la suite des nombres entiers. La suite des nombres rationnels a la même puissance que la suite des nombres naturels; et il en sera de même encore pour la suite des nombres algébriques^. Ces résultats susceptibles d'être introduits dans la mathématique positive*, conduisent, comme le fait remarquer M. Dedeldnd, à ranger tous les nombres équivalents à l'ensemble des nombres naturels dans une même classe, qui sera la classe des ensembles dénombrables ^

Mais il ne s'agit pas ici d'un simple rapprochement verbal : il

1. Voir Coulurat. De l'Infini mathématique, note IV, § 42, p. 637 et suiv.