Borcl, op. cit., p

3. Cf. Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels (1874), Acta mathematica, t. II, p. 303 et suiv. Cf. Schœnflies-Baire, Encyclopédie des sciences mathématiques, t. I, vol. I, 1909, fasc. 4, p. 490 et 496.

4. Voir Jules Tanner.v, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, 1'" édition, 1886, § 56, p. .57 et suiv.

5. Was sind und was sollen die Zahlen, 1887, 2' édit. Braunsch\veig, § 3, p. 34. Cf. Couturat, De l'Infini mathématique, p. 618.

y a entre la logique des classes el la logique des ensembles une analogie intime. Si on joint l'ensemble des nombres impairs et Tensemble des nombres pairs, on obtient Tensemble des nombres naturels; or l'ensemble total est équivalent à chacun des ensembles partiels. De là résulte immédiatement une forme de combinaison analogue à la loi de dualité ou de tautologie, c'està-dire que l'on a ' ( N „ désignant la puissance des ensembles dénombrables)

En d'autres termes, le critérium de la séparation entre la logique des classes et la logique des nombres {algèbre non numérique et algèbre numérique suivant M. Whitehead), devient la marque de la distinction qui existe, à l'intérieur même de la mathématique, entre le calcul des nombres transfînis et le calcul des nombres finis. L'axiome que le tout est plus grand que la partie, est vrai pour les nombres linis; ce qui caractérise l'ensemble infini, au contraire, c'est qu'il est partie intégrante de lui-môme ■-. La théorie des ensembles incorpore, à titre d'idée claire et distincte, la notion philosophique de l'infini telle que Pascal et Kant l'avaient déjà rencontrée ^.

230. — En faisant voir, par un partage systématique de l'intervalle compris entre deux nombres A. et B, que les nombres rationnels ne sauraient épuiser l'intervalle de ces deux nombres, Weierstrass achevait de mettre en évidence l'existence des nombres irrationnels *; il établissait ainsi l'impossibilité de faire correspondre l'ensemble des nombres réels, compris par exemple entre 0 et 1, à l'ensemble des nombres rationnels. L'ensemble G de ces nombres réels, le continu linéaire, a une puissance supérieure à la première puissance, ou puissance des ensembles dénombrables. Cette puissance do l'ensemble C, M. Cantor