LA DECOUVERTE DES IRRATIONNELLES

). — Directement ou indirectement, la considération de la technique est intervenue dans l'élaboration de la philosophie platonicienne. L'identification exacte que le pylhagorisme, au moins sous sa forme primitive et, en quelque sorte, à l'état pur, avait établie entre le nombre et la grandeur, entre la pensée arithmétique et la réalité concrète, se trouve rompue, à l'époque où Théodore de Cyrène enseignait les mathématiques à

'' 1. Cf. Phédon, 100 C : ça-.vcTai yâp fioi, ei ti èïtiv «aao y.a/.ôv uap' ayTÔ tb xaXbv, o'JÔi ôt' iv aXXo xaXbv elvat r, oiÔTt [/.eté^/si âxîivo-j toO y.aÀoO.

2. Ibid., 100 D : o-Jx a).),o t; -ko'.îX a-i/TO xa).bv r, r, àxeivou toO xa).o-j eïte 7:apou'T:a £ÎT£ xoivwvia, eï6' Ôtcy) Sy) xal oTiutç îTpOTYiyvsTat.

3. Ibid., 101 A : à).).à Stafiaptûpoi' âv, ôt'. rrii jikv o'jôèv a>,),o li^nz "0 ô'i tb (j.kv Lieî^ov iràv erepov kzkpo-j oùosvl a>,),(o jxeîïôv ettiv r, (AcyÉÔî'., xal ôià toOto ti£ï?ov. 8tà TÔ [xéyeôoî, tb S'à'XaTTOv... Sià Tf|V <TjX'.xpÔTr,Ta.

^ 4. yijowt xà u.aOr||j.aTa toïç vjv r, ç'.XoTo^ia, Met., A 9-992''32.

Platon*. Chose curieuse et qui manifeste la fécondité de leurs procédés scientiliques, c'est aux Pythagoriciens eux-mêmes qu'est due la découverte capitale qui devait mettre fin au règne du nombre, la découverte des grandeurs incommensurables. Dans la plus harmonieuse des figures qu'ils aimaient à considérer, dans le carré, ils devaient rencontrer un élément géométrique qui n'était plus une somme de points. Comment s'est révélée cette difticulté? Autant qu'on peut le présumer, ce serait par l'établissement de la formule générale connue sous le nom de théorème de Pythagore : a et 6 étant les côtés d'un triangle, c l'hypoténuse, a- -h 6- = c^.

Cette relation était connue des Hindous, à une époque que M. Bûrk, dans son introduction à l'édition et à la publication des SulvasLitras d'Apaslamha'^, fait remonter au viii'' siècle avant l'ère chrétienne (et la date est acceptée par les derniers historiens de la mathématique). Mais si les Hindous ont exprimé le théorème de Pythagore dans sa généralité, nous ne pouvons pas affirmer qu'ils en possédaient une démonstration générale. Peut-être se contentaient-ils de poser la loi par induction, en remarquant la connexion entre les différentes valeurs, exprimées en nombres entiers, que l'on pouvait donner aux côtés de l'angle droit du triangle (ou plutôt du rectangle) et des valeurs numériques entières qui leur correspondaient pour l'hypoténuse (ou pour la diagonale). L'induction devait leur paraître d'autant moins douteuse que, suivant la remarque de Zeuthen, ils devaient ne pas hésiter « à croire que toujours il était possible d'exprimer les trois côtés d'un triangle comme des multiples entiers d'une unité assez petite ^ ». Au contraire pour Pythagore, dont ce fut là sans doute l'apport original, le théorème est une vérité qui est indépendante de cette particularité que les côtés du triangle rectangle peuvent être représentés par des nombres entiers. Dès lors, les Pythagoriciens se trouvaient engagés dans un domaine où le parallélisme du concept numérique et de la représentation géométrique ne peut plus se maintenir. Le carré est la figure rectangulaire la plus simple; le carré numériquement le