LA DECOUVERTE DES [RHATIONNELLES

plus simple esl celui dont on suppose que le côté est égal à l'unité; or, l'observation empirique a dii le faire facilement tlécouvrir, si la diagonale du carré, qui a Tunité pour côté, esl prise à son tour comme côté d'un nouveau carré, l'aire de ce carré est égaie à deux ; quelle sera donc la longueur exacte de la diagonale? ou si l'on préfère, quelle sera la longueur exacte de riiypolénuse du triangle rectangle isoscèle dont les côtés sont l'gaux à l'unité? Tous les essais faits pour trouver une expression fractionnaire dont le carré soit équivalent à 2, échouent les uns après les autres. L'échec est-il définitif, et ne pourral-on en choisissant des unités de mesure de plus en plus faibles finir par découvrir une racine exacte de 2? Les Grecs se sont posé la question; ils l'ont tranchée à l'aide d'une démonstration qui donne une idée claire de leurs ressources logiques, et qu'il esl d'autant plus intéressant de reproduire ici qu'une allusion d'Aristote * permet de la faire remonter à une date très voisine de l'époque pythagoricienne. Si la diagonale est commensurableau côté du carré, le rapport peut être mis sous la forme d'une

fraction irréductible - . Le théorème de Pythagore d^ = Remontre immédiatement que d est pair, d'où l'on conclurait, puisque d et c sont premiers entre eux, que c est impair. Mais la parité de d permet d'exprimer le théorème sous la forme suivante :

^{^ = <lc- ou ^2/£^V

ce qui entraînerait la parité de c. Si d et c sont supposés commensurables, il résulte de l'hypothèse que c est à la fois impair et pair-. Ainsi se trouve établie à la pleine lumière d'un raisonnement rigoureux l'impossibilité de faire correspondre un nombre déterminé d'unités à la diagonale d'un carré qui a l'unité pour côté. Un tel nombre devrait être celui qui a pour carré 2; il devrait être pair et il devrait être impair en même temps; il n'a pas d' a état civil », il est en dehors de l'intelligibilité. Et pourtant la grandeur que l'on se voit condamné à ne jamais pouvoir mesurer avec exactitude esl géométriquement construite et déterminée. Le domaine de l'existence déborde le type de l'intelligibilité; la rupture de l'équilibre où s'était tenu le dogmatisme pythagoricien est inévitable.

1. Premiers Analytiques, I, 23, ■41^26. 'AwjijLtxETpo; r, o'Aaz-po^ ctà -h ytvEîOa'.

'2. Voir la proposition introduite dans les Éléments d'Euclide (X, 117) apiid lleiberg, X, App. 26, t. 111. Leipzig, 1880, p. 408.

De cette crise il démeure un témoin, Zenon d'Elée. Quelle qu'en ait été l'intention, quelle que soit la base positive qu'elles recouvrent ', les aporiesde Zenon d'Elée ont signifié pour l'antiquité grecque l'impossibilité de faire coïncider la pluralité discontinue, pluralité pythagoricienne des points arithmétiques ou encore pluralité démocritéenne des atomes étendus, avec la donnée concrète, avec la réalité continue de l'espace où les choses se déplacent; elles ont marqué l'échec de la science telle que la mathématique paraissait en avoir jusque-là fixé le modèle; elles ont provoqué une conception nouvelle de la connaissance et de la vérité.

26. — A travers les Dialogues de Platon, plus d'un indice vient témoigner que la découverte des irrationnelles n'est pas étrangère à la doctrine platonicienne de la science. Dans l'introduction du Théétèie , dialogue destiné à marquer les premiers degrés de l'analyse qui remonte de l'apparence sensible à la vérité, Platon rappelle les écrits de son maître Théodore, qui établit l'irrationalité de v'o, de v^7 et poursuivit jusqu'à \ITÏ la recherche des racines carrées irrationnelles-. Au VIP livre des Lois, il se plaint, comme d'un crime contre la patrie, qu'on laisse ignorer aux jeunes Hellènes, qu'on lui ait laissé longtemps ignorer à lui-même, la distinction des grandeurs commensurables entre elles et des grandeurs incommensurables ^ distinction dont il fait la base des « humanités », Surtout il convient d'insister sur l'exemple du Ménon : le problème, l'un des plus simples qui pouvaient se présenter après la découverte de l'incommensurabilité, consiste à déterminer la longueur du côté d'un carré qui serait double d'un autre carré ayant quatre pieds de surface. Ce qui est significatif, c'est le but auquel cet exemple est destiné : il s'agit de prouver la thèse de la réminiscence. LeSocrate platonicien fait introduire un esclave auquel, sans rien apprendre directement, par le seul effet de la lumière naturelle qui se révèle à elle-même, il prétend faire retrouver la véritable solution du problème *. Les premières réponses de l'esclave sont empruntées aux cadres de l'arithmétique pure : Le carré de surface double paraît avoir un côté de longueur