Op. cit.. trad. Brunet, t. I, p

I/OPKIIATION CONSTITLTIVK Dl" NOMDnK 473

que pi, par une illusion générale en psychologie, nous introduisons dans la conscience du sujet dont nous observons les mouvements notre propre jeu d'associations mentales. ^lais lorsque, ces deux procédés ayant été successivement employés, l'identité du résultat atteint par Tun et par l'autre a été constatée, lorsqu'en d'autres termes, il y a eu aflirmation de vérité et contrôle vérificateur, alors l'idée a été effectivement constituée.

292. — Ainsi, sur le premier nombre dont l'homme se soit fait une conrei)lion distincte, sur le nombre deux, s'établit le point de dorlrine qui est fondamental, si l'on vent débarrasser de paradoxes et (ï insoliibilia la route de la philosophie mathématique. L'esprit ne commence pas par poser un monde d'idées, comportant toutes sortes de relations possibles, avant de se demander comment faire le départ entre les relations vraies et les relations fausses. Mais l'idée est constituée par une vérité qui lui est intérieure.

Cette conclusion s'éclaire par comparaison avec l'explication du concept générique. Le concept français, par exemple, implique deux opérations convergentes : lune, l'abstraction qui fournit les caractères contenus dans la compréhension — l'autre, la généralisation qui fournit les individus contenus dans l'extension; il n'est intelligible qu'à titre de produit du jugement qui rapporte des attributs à des sujets. Un concept numérique tel que deux est au point de rencontre de deux opérations : l'une qui est simplement la répétition de l'action et qui est le germe de l'addition — l'autre, qui est l'action d'ensemble et qui est le germe de la multiplication. Seulement, tandis que la synthèse des deux opérations peut dans le concept générique être un rapprochement arbitraire et ne former autre chose qu'un élément du discours, tandis que la vérité du concept générique demeure dans l'ordre conA^entionnel du langage, la synthèse des deux opérations dans le concept numérique est une vérité qui peut se constater : que l'on procède par la voie de l'addition, ou par la voie de la multiplication, le tout constitué apparaît identique. La perception qui sert de point d'appui à la reconnaissance de cette identité, intervient ici comme instrument de vérification; elle fait du concept numérique un élément de science.

Un nouveau problème se trouve posé par la considération du processus additif : puisqu'on peut partir de l'un et de l'autre des termes du couple, il y a lieu de se demander si l'interversion de l'ordre est sans influence sur le résultat final. Devant une question aussi simple, rationalisme et empirisme ont paru éga-

lement embarrassés. Sans doute, puisque l'opération est définie indépendamment de la nature des termes entre lesquels elle est établie, il n'y a pas de raison pour qu'une permutation entre ces termes introduise une différence dans le nombre qui en dérive; mais de cette forme négative, sous laquelle \e^ principe de raison suffisante se présente toujours dans l'application, comment tirer une preuve positive? D'autre part, nous ne pouvons pas faire fond sur l'expérience seule; car l'expérience ne nous répondra que si nous savons l'interroger, si nous allons au devant d'elle à l'aide de la notion déjà formée du nombre. Il sera donc impossible de donner une solution satisfaisante à la difficulté, ou plus exactement d'empêcher la difficulté de naître, si on ne retient à la fois la raison et l'expérience comme déjà engagées dans la manifestation la plus simple de la vie scientifique, comme exprimant les deux fonctions dont la connexion caractérise l'intelligence : fonction interne de relation qui constitue proprement la notion — fonction externe de coïncidence qui constate l'identité de deux relations et aboutit ainsi à une affirmation de vérité, à un jugement de réalité. Dire que la permutation est légitime, c'est ne rien dire d'autre que ceci : par elle la raison a manifestement prise sur l'expérience.

293. — Généralisons maintenant la conception à laquelle nous conduit l'analyse du nombre deux. Un nombre, en tant qu'il peut revêtir l'aspect d'une représentation isolée et s'exprimer par une dénomination de forme simple ou complexe qui le désigne exclusivement, en tant qu'il devient enfin un objet pour lintelligence, n'est que le résidu d'une équation; ce qui donne au nombre sa valeur d'intelligibilité, c'est la conception de l'équivalence qui relie l'objet numérique à l'opération par laquelle il est constitué. Il sera donc impossible de traduire par un terme unique le concept propre du nombre. Les mathématiciens-philosophes, en prétendant ramener le nombre au symbole figuré ou écrit qui prend place dans le corps du discours scientifique, ont été dupes d'une langue mal faite; ils ont imaginé un signe qui se suffit à lui-même, une vérité qui est une chose en soi, alors que dans la stricte exactitude il n'est permis de parler que de signification et de vérification. Le symbole disparaît en tant que symbole si on ne sait pas remonter au jugement qui le sous-tend; le calcul digital lui-même, qui a pu paraître le type de l'opération simple, décèle à l'observateur attentif une action à deux personnages : la main avec laquelle on compte, et la main sur laquelle on compte; supprimez cette dualité, grâce à laquelle le mouvement de la pensée s'exerce et

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la relation de correspondance s'établit, il n'y a plus de calcul proprement dit, il n'y a (ju'une mimique incohérente.

11 n'en est i)as autrement du nombre considéré sous sa forme définitive, c'est-à-dire, lorsqu'un procédé régulier de numération permet l'extension indéfinie de la série des nombres. Le procédé de numération en usage dans les peuples civilisés est une combinaison mélhodiijue de l'addition et de la multiplication. Dans le système décimal, i)ar exemple, le premier terme de l'équation qui définit les nombres jusqu'à dix correspond à une addition; à partir de dix, il comprend une multiplication ou plus exactement une exponentiation. Cette diversité de composition n'entraîne aucune difficulté du moment que nous avons établi sur l'exemple du nombre deux l'équivalence du procédé duplicatif et du procédé additif, et fondé ainsi la possibilité de substituer l'un à l'autre.

On pourrait d'ailleurs demander à Tobservaiion psychologique de mettre directement en évidence que l'équation constitutive du nombre est susceptible d'une interprétation en termes multiplicatifs ou en termes additifs. Ainsi, voici un fait curieux qui est consigné par le P. Bourdin dans ses Objections aux Méditations de Descartes : « J'ai connu quelqu'un qui en s'endormant avait entendu, un jour, sonner quatre heures, et avait fait ainsi le compte : ane, iine^ une, une ; et devant l'absurdité de sa conception, il s'était mis à crier : voilà l'horloge qui est folle : elle a compté quatre fois une heure'. » Le relâchement de l'attention a suspendu les réactions habituelles qui permettent l'application inconsciente du nombre; il a mis à nu l'effort qui a été nécessaire pour acquérir la notion numérique ellemême, et qui s'exprime par re^/aa/zo/z fondamentale : quatre fois un égale une fois quatre.