LES ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES NOMBRES

300. — Peut-être rendra-t-on raison de cette antériorité en observant que. si la division est techniquement moins facile que la soustraction, elle correspond à une opération que les besoins de la vie sociale devaient faire apparaître d'assez bonne heure à titre d'acte nécessaire et d'acte simple : l'opération du partage entre plusieurs individus; opération qui, comme celle de l'échange, impliquait naturellement le maniement des objets, et qui, s'accompagnant ainsi d'un jeu d'images nouvelles, apportait le soutien de l'intuition au processus de l'intelligence.

D'autre part, les cas d'impossibilité auxquels on se heurtait presque immédiatement ont présenté un tout autre caractère pour la division que pour la soustraction.

La soustraction est arithmétiquement impossible quand, de deux nombres quelconques, celui que l'on devrait retrancher se trouve plus grand que l'autre; l'impossibilité ne tient nullement à ce qu'il s'agit de tel ou tel nombre. Il en est tout autrement pour la division ; il y a des divisions qui peuvent se faire exac-

tement, et d'autres qui ne peuvent pas se faire; mais cela ne tient plus seulement à Toccasion qui a mis en présence deux nombres quelconques.

Un nombre tel que 12 se divisera par 2, ou par 3, ou par 4; au contraire, quel que soit le diviseur (autre que l'unité), 13 ne se divisera pas. De là naquit la croyance, antique et tenace, qu'il y a dans le premier comme une vertu secrète qui le fait se prêter au partage équitable, qui lui permet de satisfaire au droit de tous; dans le second comme une malice occulte qui le rend réfractaire à l'exacte répartition, générateur d'inégalités et de querelles.

Or, si nous traduisons dans le langage de la spéculation ces remarques élémentaires, nous serons amenés à dire que la possibilité ou l'impossibilité de la division nous donne accès aux propriétés permanentes des nombres, caractéristiques de leur essence. C'est par un effet de leur nature intime que 4 est pair, que 5 est impair, comme c'est par une propriété de nature que les bœufs sont ruminants, ou que tel bœuf est blanc. C'est par nature également que 12 se trouve divisible par quatre nombres diflerents de l'unité, ou que 13 ne l'est par aucun, qu'il est un nombre premier. Et les nombres premiers devaient d'autant plus facilement attirer l'attention que dans rétablissement de la numération c'étaient ceux que le procédé multiplicatif était incapable d'atteindre, ceux qu'il fallait rattraper ensuite par le procédé plus lent de la progression arithmétique de raison 1, et intercaler entre les produits déjà définis.

301. — L'étude de la division n'a donc plus du tout le même caractère que l'étude de la multiplication : au lieu de déterminer simplement des procédés de calcul qui sonttoujours applicables de la même façon, elle conduit à une spéculation théorique sur les propriétés intrinsèques, sur les qualités, de tel ou tel nombre pris en particulier, et indépendamment du choix d'un système de numération. Aussi, pour établir la base de la théorie de la divisibilité, le mathématicien va-t-il se trouver dans cette nécessité de recourir aux procédés de la méthode inductive, en ce qu'elle a de spécifiquement opposé à la déduction analytique par laquelle sont démontrées les lois de l'addition et de la multiplication. La constitution élémentaire, à l'avance définie, des entités numériques rendra seulement plus simple et plus sûr l'usage de la méthode. A ce titre, l'étude de la divisibilité, qui est à la base de la théorie des nombres, est un exemple privilégié pour l'analyse des différentes formes de l'induction.

Tout d'abord, l'induction se fait par énumération simple, et il

LKS lÎLlÎMENTS DE LA ÏHEOlUIi Di:S NOMHUKS 487

sera facile d'oblonir des conclusions rigoureuses, en poussant rénuinr ration juscju'à l'oxliauslion des éléments à considérer. Par cxem|)le, si nous envisageons le nombre 137, nous pourrons sans peine épuiser la liste de ses diviseurs possibles, en essayant tour t'i tour les nombres inférieurs ou égaux à ^137, c'est-à-dire les entiers au dessous de 12. Si le résultat est négatif, nous dirons que 137 est premier. En un sens 137 est bien un pur objet intellectuel, une création a priori de l'esprit; mais en un autre sens nous ne connaissons pas a priori sa nature, et, pour savoir s'il est divisible ou non, nous devons procéder par une série de tAtonnements analogues à la recherche expérimentale, par une enquête a posleriori. L'expression classique de crible (d'Eratosthènes), par laquelle on désigne le procédé pour éliminer, dans une suite de nombres naturels donnés : 1, 2, 3... n, tous les multiples des nombres premiers successifs inférieurs à v"i marque d'une façon heureuse le caractère instrumental et physique de l'opération.

L'enquête expérimentale a pour objet d'établir des lois. Ces lois seront-elles le résultat d'une généralisation empirique, ou la conséquence d'une nécessité qui relie les caractères intrinsèques des choses? Les exemples empruntés à la théorie des nombres sont ceux qui mettent le mieux en lumière la difficulté de passer d'une conception à l'autre. Ainsi, en réponse à une « conjecture » que lui avait soumise Goldbach, Euler énonce, comme un fait certain, quoiqu'il n'ait pu en avoir la démonstration, que tout nombre pair est une somme de deux nombres premiers*. Par exemple, de 30 à 40, on a :

La proposition, connue sous le nom de théorème empirique de Goldbach, n'a pas encore été démontrée; mais elle n'a pas été démentie non plus. A mesure que la vérification empirique sera poussée plus loin, la tentation sera plus grande de faire fond sur la régularité des résultats pour escompter l'existence

1. Lettre cTEuler du 30 juin 1742, apud Correspondance mathématique et physique, éd. Fuss, t. I, 1843, p. 135 (La lettre de Goldbach se trouve p. 127).

dune loi naturelle; et pariois, nous devons bien le reconnaître, il y a une probabilité assez grande pour qu'on puisse, au besoin, tirer d'une telle proposition des conséquences qui auraient une chance sérieuse d'être vraies'.

Mais cette apparence de régularité peut être trompeuse ; et l'exemple d'un mathématicien tel que Fermât est trop significatif à cet égard pour ne pas être rapporté ici. Il écrivait à Frenicle : « Je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme

et le suivant de 20 lettres

18 446 744 073 709 551 617 ; etc.

Je n'en ai pas la démonstration exacte; mais j'ai exclu si grandes quantités de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurais peine à me dédire-. »

Lorsque Goldbach attira l'attention d'Euler sur cette proposition que Fermât croyait vraie, sans en avoir pourtant la preuve, Euler lui répondit immédiatement que, sûrement, la recherche

inductive n avait pas été poussée jusqu'à la forme 2 H- 1 ;

1. C'est ainsi que Joseph Bertrand utilise dans un de ses Mémoires « un postulatum relatif aux nombres premiers, qu'il s'est contenté de vérifier à l'aide des tables jusqu'à la limite 6 millions, sans toutefois chercher à le démontrer ». (La proposition a été d'ailleurs établie depuis). Darboux, Éloge de J. Bertrand, décembre 1901, apud Bertrand, Éloges académiques. Nouvelle série, p. xxv.

2. Lettre écrite vers août 1640, édit. Tannery-Henry, t. II, p. 206. Cf. Lettre à Pascal du 25 septembre 1654, Œuvres de Pascal, t. III, 1908, p. 418 : « Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous ^communique avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition :

Les puissances carrées de 2, augmentées de l'unité, sont toujours des nombres premiers.

Le carré de 2, augmenté de l'unité, fait 5, qui est nombre premier.

Le carré du carré fait 16 qui, augmenté de l'unité, fait 17, nombre premier.

Le carré de 16 fait 256, qui, augmenté de l'unité, fait 257, nombre premier.

Le carré de 256 fait 65 536, qui, augmenté de l'unité, fait 63 537, nombre premier. Et ainsi à l'infini.

C'est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée, et je vous avoue que je n'ai pu encore la trouver pleinement; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j'en étais venu à bout. » ^' 3. Lettre du 8 janvier 1730, op. cit., 18.

LES p:lements de la theorii: des nombres 489

et, de fail, dès la forme 2^"-i- 1, 1 affirmation se trouve en diMaul, comme Eulcr s'en aperçut quelques années plus tard. Tandis

que 2- -f- 1,2" -h 1,2^ -1-1,2* -h 1 sont des nombres premiers, il se

trouve — (( je ne sais pourquoi {nescio qiio falo)^ » — que 2" -h 1 n'est pas un nomiu'e i)remier; « j'ai observé, en m'occupant de problèmes bien dilTérents, que ce nombre (4294 967 297) est divisible par 041. »

302. — Que l'anlicipalion intuitive ait risqué dégarer celui en qui Pascal voyait « le premier homme du monde », c'est, à coup sûr, ce qui peut le mieux suggérer aux profanes l'idée de la difficulté que présentent dans ce domaine les démonstrations déductives, et de la diversité des méthodes qui doivent être utilisées à cet égard.

Parmi ces méthodes, nous relèverons celle qui nous paraît caractériser avec le plus de netteté la spécificité de la théorie des nombres par rapport à la conception commune de l'arithmétique : c'est celle que Fermai appelle descente infinie ou indéfinie. Par exemple, pour faire la preuve de ce théorème : « tout nombre est carré ou composé de deux, de trois ou de quatre carrés », Fermât établit « que, si un nombre donné n'était point de cette nature, il y en aurait un moindre qui ne le serait pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc., à l'infini ; d'où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature-». Cette inférence est le véritable raisonnement par récurrence. Comme la déduction progressive qui est le ressort de r « induction complète », elle implique la considération de l'infini ; mais l'infini ne s'y trouve manié que sous forme négative, pour aboutir à une forme de réduction à l'absurde. Un tel raisonnement ne dépasse donc pas l'usage que les anciens faisaient de l'infini; et de fait, comme Gennochi l'a reconnu ^ il a été employé par Euclide. Pour démontrer que tout nombre composé A comprend parmi ses diviseurs un nombre premier B, Euclide fait voir qu'autrement le nombre A aurait une infinité de diviseurs, toujours plus petits les uns que les autres*. Conclusion

1. Observaliones de theoremate qiiodam Fermaliano, aliisque ad numéros prlmos spectaniibus (1732). Gommentarii Academiae Scientiarura Imperialis Petropolitanœ, t. VI, Saint-Pétersbourg, 1738, p. 104.

2. Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, h Carcavi (août 1630). édit. Henry-Taiiuery, t. II, p. 433.

3. Annali di scienze mathemaliche e lisiche, Rome, t. VI, 183o, p. 306. Cf. Vacca, Revue de métaphysique, 1911, p. 2.53.