LA THÉORIE DES FRACTIONS

303. — Pour les philosophes qui assimilent le raisonnement mathématique à la déduction analytique, la constitution de semblables doctrines a un caractère paradoxal. La théorie des nombres, dont nous venons de rappeler les plus simples éléments, est une spéculation qui n'a d'autre but, selon la célèbre expression de Jacobi, que l'honneur de l'esprit humain; l'on rapporte, écrit M. Félix Klein, que Kummer a dit un jour que la théorie des nombres était la seule branche pure de notre science, non souillée encore par le contact avec les applications ^ Or cette spéculation abstraite se développe suivant le rythme d'une science naturelle; les vérités s'y découvrent et s'y établissent par une méthode qui est effectivement, comme liermite l'avait montré ^ une méthode d'observation, tandis qu'au contraire l'arithmétique vulgaire, sortie de la pratique et développée en vue de la pratique, a conservé l'allure d'une construction déductive où l'esprit crée lui-même ses concepts et pose a priori les lois de leurs relations.

Le paradoxe s'évanouit si l'on considère que l'addition ou la multiplication vont dans le sens des procédés qui engendrent les nombres, que la division est orientée dans une direction opposée à cette synthèse constitutive. Elle suppose donc que cette synthèse est déjà accomplie, que les nombres seront des entités constituées, susceptibles d'être présentées comme des réalités naturelles et auxquelles il y aura lieu d'attribuer tel ou tel prédicat. La méthode par laquelle se justifieront ces jugements d'attribution ne doit donc pas différer des procédés par lesquels nous cherchons à pénétrer la structure des objets que l'univers nous fournit; ou plutôt toute la différence est dans la précision et la rigueur des applications