Conférences de Chicago (1893), Ir. Laugel, 1898, p

3. Voir en particulier la note insérée dans le Mémoire de Ghevreul : Distribution des connaissances humaines, etc. (Mémoires de l'Académie des Sciences, Nouvelle collection, t. XXXV, 1866, p. 529).

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i|ni foiil <lo la lli(''()iie des nombres le inod(Mc des sciences naliireiles.

Mais aussi, et en vertu de la supposition fondamentale qui est inhérente à la théorie des nombres, l'élude de la division n'est pas épuisée dans celle spéculation abstraite sur les relations de dividende h diviseur. D'ailleurs les nécessités de la pratifpie invitent l'esprit humain à s'cnii^ager dans une voie dillérente, qui lui permettra d'opérer avec succès là môme où une exacte division en nombres entiers n'est pas possible.

304. — Ici encore, par rap[)orl h la soustraction, la division présente un avantage qu'il est important de mettre en lumière. Soustraire 17 de 5 est une opération qui, par elle-même, ne présente aucun sens et qui, tant qu'on demeure dans la sphère des entiers positifs, semble être au delà du possible. La division de 17 par 5 n"a pas, si l'on pont ainsi parler, le même caractère d'impossibilité. Sans doute le résultat n'en peut être indiqué avec exactitude; du moins aperçoit-on qu'il devrait être intermédiaire entre les résultats de deux autres divisions. Si 17 est à diviser par 5, c'est plus que 13 et c'est moins que 20. Le résultat est donc à la fois plus grand que 3, et plus petit que 4. Des inégalités auxquelles conduit la considération de ce dividende intermédiaire entre les dividendes 13 et 20, on passe ainsi à un nouveau type d'inégalité, dont les termes extrêmes seraient les quotients 3 et 4, c'est-à-dire deux entiers consécutifs; et entre ces deux formes d'inégalité l'analogie est toute naturelle pour la pensée dégagée de toute considération spéculative sur l'absolu des nombres. H y a plus : dans ces dernières inégalités on trouve des différences à marquer. Le résultat de la division par 5 de 16 ou de 17, de 18 ou de 19, apparaît comme devant être plus grand que 3 et plus petit que 4; pourtant, on soupçonne qu'il ne sera pas le même, puisque le reste de la division est successivement : 1, 2, 3 et 4. 11 s'introduit ainsi, de par la considération des entiers successifs, de nouvelles inégalités à l'intérieur de l'inégalité principale, des rapports croissants de grandeurs qui forment une sorte de progression à l'imitation de la progression des nombres entiers. On pourrait pousser plus loin encore l'analyse; car jusqu'ici nous avons considéré des restes en relation avec un même diviseur; mais la pratique de la division nous met nécessairement en présence du cas inverse, où ce n'est plus seulement le dividende, mais aussi le diviseur qui varie.

Il suffit d'avoir montré que, sans introduire dans notre langage d'autres termes que des nombres entiers, nous pouvons

492 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE xMATHÉMATIQUE

concevoir difTérentes espèces de rapports comme conséquences naturelles de la division que nous devons effectuer sur des nombres. En fait, ces rapports entre restes et modules fournissent la matière d'une théorie comme celle des congruences.

305. — Or, une fois que ces différents rapports ont été conçus, l'idée de fraction est-elle acquise? n'y aurait-il plus pour constituer la notion de fraction qu'à créer une expression symbolique de ce rapport? Par e.Kemple (2 : 3) désignera le résultat idéal d'une division non effectuée; et si nous décidons de fonder sur cette combinaison de signes un calcul comparable au calcul des unités numériques, nous pourrons poser le postulat suivant : (2 : o) X 5 ^ 2; d'où nous pourrons déduire, en nous appuyant sur les rapports des opérations dans l'arithmétique élémentaire, les règles des opérations relatives à ces expressions nouvelles.

On aurait ainsi justifié le calcul des fractions. En etîet, comme le dit M. Riquier. « le point de vue arithmétique... conduit exactement aux mêmes règles que le point de vue physico-arithmétique auquel on se place presque toujours ». Et il ajoute : « Bien qu'en fait la notion de fraction ait sa source incontestable dans la recherche d'un procédé commode pour mesurer les grandeurs concrètes, on peut lui assigner, comme origine logique, la recherche d'une commodité analytique K »

Du point de vue où nous nous sommes placé, nous tirerons de ces remarques une conclusion contraire à celle de leur auteur. Pour nous l'arithmétique des nombres entiers est déjà une discipline physico-arithmétique, et c'est ce qui en fait la valeur de science. Dès lors, si nous voulons conserver cette valeur, nous devons maintenir dans le domaine des fractions le même ordre de connexion que dans le domaine des nombres entiers, et concevoir qu'aux transformations mentales effectuées sur les expressions fractionnaires correspondent des transformations effectuées sur les choses elles-mêmes.

306. — Nous n'avons pas besoin d'insister sur le caractère de ces dernières transformations, le mol même de fraction suffit à en indiquer la nature élémentaire. Il y a une foule d'objets qui se présentent avec cette double propriété que chacun d'eux constitue une individualité unique et qu'il est susceptible d'être brisé en un certain nombre de parties. Lorsque la division mentale ne donnerait, à suivre les lois qui régissent les nombres

1. De l'idée de nombre considérée comme fondement des sciences mathématiques. Revue de métaphysique, 1893, p. 348.

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cnliors, aucun moyen d'opérer un partage exact, une opération manuelle permet d'oljlenir avec un seul obj(^t un nombre déterminé de nouveaux objets, et la répartition s'accomplit sur ces objets nouveaux : chaque partie devient une part. Sans doute, si les unités entières qu'on avait d'abord posées étaient des entités métapiiysiques, si le nombre était un absolu, la résolution d'une unité en parties aliquotes serait une contradiction dans les termes. Mais, puisque le nombre est une réalité mentale correspondant à une réalité physique, il serait étrange que l'esprit de rhomme se laissât arrêter par l'instrument même qu'il s'est forgé, qu'il se refusât à suivre les transformations dont ses yeux sont témoins et à les traduire dans un réseau parallèle de transformations mentales. A la réalité physique du fractionnement correspondra la réalité mentale de la fraction. De nouveau, par conséquent, la connexion va s'établir entre le dynamisme de l'intelligence et les données de l'expérience. Certes, le calcul des fractions n'est pas de nature empirique; l'expérience ne nous apporterait pas l'homogénéité des objets nouveaux que nous obtenons comme résultat matériel du fractionnement. C'est par un élan de l'esprit, et qui a la valeur d'une véritable découverte, que nous assimilons ces objets aux unités du calcul arithmétique, que nous leur appliquons les modes de combinaison valables pour les nombres entiers. Mais, grâce à l'expérience, la fonction externe de coïncidence s'ajoute à la fonction de connexion interne ; des combinaisons de symboles abstraits deviennent des vérités. Ce n'est pas par convention, c'est effectivement, matériellement aussi bien qu'intellectuellement, qu'une unité numérique, partagée en cinq parties, sera considérée comme cinq cinquièmes^. Entre ces cinquièmes on établira les mêmes rapports qu'entre les nombres entiers, en particulier les rapports d'addition et de soustraction. De plus, chacun de ces cinquièmes, étant traité comme unité, pourra être à son tour le point de départ d'un fractionnement semblable; une nouvelle unité fractionnaire naîtra, qui sera par rapport au cinquième ce que le cinquième lui-même est par rapport à l'unité primitive. 11 faut cinq de ces unités nouvelles pour faire un cinquième; dès lors, on devra prendre cinq fois cinq de ces unités nouvelles, ou vingt-cinq unités, pour refaire l'unité primitive; chacune de ces unités nouvelles est un vingtcinquième.

1. Voir sur ce point les réflexions de M. Guillaume, Revue générale des sciences, 1906, p. 877.

Nous pourrons donc poser les égalités suivantes, 1 25

ou

c'est-à-dire que nous retrouvons le principe fondamental auquel nous avait conduit la considération des rapports entre reste et diviseur. 11 n'y a pas deux sortes différentes de combinaisons, les unes que nous expérimentons sur les fragments d'objets, les autres que nous formons sur les expressions abstraites nées du symbolisme opératoire; mais c'est une même idée que nous apercevons à travers deux aspects différents, ou plus exactement ce sont ces deux aspects dont la synthèse constitue Tidée.

l'extension de la vérité ARITHMÉTIQUE

307. — Si simples qu'elles soient, les démarches par lesquelles se justifient à titre de vérités scientifiques les principes du calcul des expressions fractionnaires, sont importantes à bien interpréter; car elles marquent, nous l'avons déjà vu en examinant l'évolution de l'arithmétisme, un tournant décisif dans l'orientation de la philosophie mathématique.

Ou Tarithniétique, constituant les nombres par la voie de l'addition ou de la multiplication, crée des objets dont il est permis d'affirmer la réalité intrinsèque et qui deviennent des limites pour linvestigation: le nombre naturel est une somme ou un produit d'unités qui sont d'une façon absolue des éléments, comparables aux atomes de Démocrite.

Ou la connexion entre les concepts et les objets, entre le cours de la pensée et le cours des choses, qui a donné naissance à la science des entiers positifs, n'est que la forme initiale de la connexion que la mathématique établit entre les combinaisons idéales et les données de la perception; et, alors, en passant du calcul des entiers au calcul des fractions, en substituant la notion fondamentale du rapport à la notion fondamentale de Vêlement, on a élargi la base de la science sans lui rien faire perdre de sa vérité. De l'entier positif aux formes généralisées du nombre, il y aura progrès et non déchéance.

Dans la première conception la justification des opérations fondamentales sur les nombres est plus directe et plus simple, elle a une allure plus dogmatique; mais, et précisément en raison de cet avantage, les difficultés doivent apparaître et se multiplier à mesure que les recherches scientifiques se déve-

L EXTENSION l)K LA VliUlTH AUrriIMKTIQlK 495

lopitent. Dès le calcul des expressions fractionnaires, le malhémalicien se croira tenu de sacrifier h la commodité logique la réalité des objets auxciuels s'ap[>liquent les formes opératoires de combinaison. Sous prétexte de satisfaire à un idéal de rigueur verbale, il s'enfermera dans un monde de symboles arbitraires; il se contentera île feindre lorsqu'il pourrait savoir, il n'aura plus qu'un jeu fonuel là où il devrait viser à une vérité pleine.

Pour comprendre la science comme science, il faut renoncer à l'économie il écriture, qu'on a baptisée économie de pensée. Les lois des opérations mathématiques ne perdent ni en clarté, ni en précision, parce qu'on rompt avec cette convention quelque peu puérile de sous-enlendrc l'etTort d'invention par lequel ces lois se sont constituées, parce qu'on cesse de fermer les yeux sur l'analyse préalable qui donne leur signification aux combinaisons idéales de la mathématique, et les élève à la dignité d'un savoir vrai.

308. — Nous conclurons donc : si la science des entiers positifs met en lumière avec une clarté et une simplicité singulières la connexion entre les lois de la pensée el les modes de composition ou de décomposition des objets réels, ce n'est pas cette clarté et cette simplicité qu'il convient de retenir comme si elles étaient les caractères essentiels et comme si elles devaient marquer les limites de la pensée mathématique. Au contraire, il faut faire fond sur cette connexion qui s'est manifestée dans l'aritiimétique élémentaire, pour comprendre l'élargissement croissant des horizons que s'ouvrent les inventions de plus en plus complexes et raffinées des savants, et, d'autre part, le secours que ces inventions ont trouvé dans une attention toujours plus scrupuleuse aux conditions de la vérité scientifique.

Avec le calcul des expressions fractionnaires, il apparaît que l'arithmétique conduit, non à la formation d'une spéculation philosophique qui interdirait à l'intelligence de remporter une victoire plus complète sur la nature, mais à la création d'une technique nouvelle, capable de résoudre les problèmes que le calcul proprement arithmétique laissait sans solution. Pas plus que l'intelligence ne s'épuise dans la représentation des unités discrètes et définies qui forment la matière du calcul des nombres entiers, l'univers ne se réduit à un ensemble d'objets distincts qu'il suffirait de juxtaposer et de compter pour atteindre les sources vives de la réalité. L'observation montre à quel point sont transitoires et factices, dans Tordre de la matière et même dans l'ordre de la vie, les formes d'agrégats qui donnent à telle

OU telle chose l'apparence d'un individu autonome et simple. L'application de l'arithmétique pure à la nature est un coup d'essai que tente la pensée humaine ; elle obtient une première approximation. Le calcul des fractions, qui est un effort déjà plus complexe et plus heureux, est une seconde approximation. Or, le succès, en quelque sorte illimité du fractionnement, montre que la réalité est encore au delà du fractionnement. Par les entiers positifs et par les fractions nous n'avons fait que suivre la pente de la moindre action intellectuelle; nous avons abstrait de l'univers ce qui était accessible à une intelligence qui ne se sentait bien assurée que de ses démarches élémentaires; nous étions dans l'espace, sans avoir encore la force d'aborder de face la réalité spatiale avec toutes ses conditions et toutes ses propriétés. Mais nous essaierions en vain de nous masquer à nous-mêmes cette faiblesse comme si elle était une supériorité, comme si c'était élever la dignité de l'arithmétique que de transformer ses objets en pures entités logiques, soustraites au contact de la réalité, déracinées par suite de leur vérité. Puisque c'est le contact avec le réel qui a fait de l'arithmétique une science au sens propre, au sens complet du mot, il faut étudier dans leur généralité les lois de ce contact, en reprenant à sa base même le processus d'activité intellectuelle par lequel se constitue la réalité.