LIVRE PREMIER ARITHMÉTIQUE

1. — C'est sans doute un préjugé de croire que les notions les plus simples et les plus anciennement conquises par l'humanité soient aussi celles dont il est le plus facile de reconstituer la genèse et de déterminer la nature. En fait, il n'est guère de notion qui, de nos jours, ait soulevé plus de discussions, qui ait prêté à plus d'interprétations diverses, que la notion de nombre, principe de la science élémentaire par excellence, de l'arithmétique.

La méthode historique, dont nous voudrions faire un usage constant, peut-elle même être directement appliquée à Téclaircissement de la notion de nombre?

L'histoire de la philosophie mathématique s'ouvre avec le pythagorisme, qui est Tune des doctrines les plus éclatantes, mais aussi l'une des plus mal connues, de l'antiquité. Si nous laissons de côté les conjectures sur la part qui revient aux représentants successifs de l'École dans la constitution de la doctrine, ou les connexions souvent étranges et mystérieuses par lesquelles les données purement scientifiques se reliaient à la tradition des prescriptions morales ou des croyances religieuses, un problème subsiste où il serait essentiel d'avoir l'appui d'une documentation positive. Nous aurions à déterminer le progrès d'ordre technique auquel correspond la philosophie du pythagorisme; pour cela nous devrions pouvoir suivre la culture hellénique dans la continuité de sa croissance, savoir ce qu'elle a emprunté aux civilisations de l'Asie ou de l'Egypte. Plus encore, partant du premier système qui

confère une valeur absolue aux objets de la science mathématique, nous aurions besoin de remonter jusqu'aux premières lueurs qui manifestent dans l'humanité l'éveil de la pensée scientifique. Or, ici, l'histoire est presque silencieuse. Nous ne trouvons d'indications suffisamment précises que dans quelques documents égyptiens d'une antiquité reculée, dont le papyrus Rhind demeure le plus important.

Notre seule ressource est de tourner la difficulté, de substituer aux recherches sur l'ère primitive de nos civilisations, les observations que, de nos jours, on fait directement sur les sociétés inférieures. L'ethnographie, exerçant une sorte de fonction vicariante, permet de combler en une large mesure les lacunes de la préhistoire, et, par une hypothèse qui est assurément invérifiable, mais qui du moins a pour elle la vraisemblance, de rétablir dans ses grandes lignes le cours naturel de l'évolution humaine.

Ainsi l'étude de la constitution de l'arithmétique comportera Texamen de trois questions distinctes :

1° De quelle manière les hommes elTectuent-ils les premières ■ opérations du calcul?

2° Quels résultats étaient obtenus dans la pratique au moment de la rédaction du papyrus Rhind?

3° Comment la science des nombres a-t-elle conduit, dans l'Ecole pythagoricienne, à une représentation intégrale et à une explication de l'univers?

2. — Ces trois ordres de recherches, dans l'état actuel de noire information, ne se font pas suite l'un à l'autre, non seulement parce qu'ils n'appartiennent pas à une même histoire, mais aussi parce que logiquement ils se déroulent dans des plans différents. Lorsque nous étudions le pythagorisme, nous avons pour tâche de déterminer la conception que les Pythagoriciens se faisaient de la science, la portée qu'ils attribuaient à la notion de nombre et aux relations numériques ; notre exposé doit coïncider avec la réflexion consciente des penseurs du vi* ou du v^ siècle avant Jésus-Christ. Au contraire, lorsque nous étudions les procédés de calcul ou de numération dont les peuplades de rOcéanie ou du Brésil central font usage, nous avons affaire à des phénomènes dont les esprits humains sont le siège, mais qui ne sont pas pour ces mêmes esprits l'objet d'une réflexion consciente. Les « non civilisés » se livrent à des actes d'échange, à des opérations de calcul, sans avoir aucune idée des règles d'égalité, des lois d'addition ou de multiplication qui confèrent à leurs pratiques un caractère de vérité ; le sociologue est placé devant