LES PROBLÈMES DR LA LOGIQUE FORMELLE
pour tant de ^r^'-nérations un idéal artificiel de beauté, on ne peut s'empêcher de l'aire état contre Aristole des illusions sur la vertu de la loffique formelle, que la perfection des Analytiques^ a tait naître Suivant une conception traditionnelle, les Analytiques sont une œuvre sans modèle; à peine avaient-ils des racines : la comparaison avec l'induction socratique, surtout avec la division platonicienne, esquissée d'ailleurs par Aristote lui-même , ne mettait que mieux en lumière l'originalité et la portée de la syllof'istique. En tout cas ils ne réclamaient aucun complément pour'^ravenir. Kant, rééditant louvra-e où il rénovait la théorie de la connaissance, ne déclarait-il pas que la logique n'est pas destinée à faire un pas en avant de même qu'elle n'a jamais été obli-ée de faire un pas en arrière, que selon toute apparence elle^e-t close et achevée^? Déclaration qui exprime d'ailleurs ce qu'enseignaient la plupart des professeurs de logique, ce que les manuels continueront à enseigner pendant plus d'un siècle La logique se divise en deux parties : une partie générale traitant des formes de raisonnement nécessaires pour démontrer n importe quoi; une partie spéciale qui traite des méthodes propres aux différents ordres de science. La méthode mathématique et la méthode expérimentale constituent la logique spéciale, tandis que la logique générale à laquelle on les subordonne est constituée tout entière par la logique du syllogisme \
47 — Transportée ainsi hors du temps, appelée à régenter la mathématique au même litre que les sciences de la nature ou de l'esprit, la syllogistique soulève des problèmes qu il est nécessaire de définir dès maintenant, si l'on veut juger influence du syllogisme sur le développement de la pensée mathématique. En effet, le syllogisme fait abstraction de ordre de a connaissance, pour se placer dans l'ordre de lètre. Aux yeux du biologiste qu'est Aristote, il semble que les deux pi-emisses s'unissent comme des êtres vivants, et, par leur vertu génératrice, donnent naissance à la conclusion K Le système des trois termes et des trois propositions constitue une sorte de vie organique, qui est parallèle à l'existence des choses et qui donne le moyen d'en comprendre la genèse. Mais celle prétendue indépendance
demie de Berlin, t. III, 1904, p. 7, tr. Barni, t. I, 1809 p. 17. Ireme^avgue^
et Pacaud, 1905, p. 17. , .,. • .^,-. ., . i 32-88" 27 :
3. Une telle division est conforme a la pensée d Anatole, Il ^".,1, -i- »» -' aï «pvcal 6c.Ta(, il ,ov .e vcal ^sp- S • al ixsv o^v il. o.v xo.va.. «. oz r.3pc o .o.«., 0.0.
'^LK?t3-73- 7; cf. IMn., II. 11-94-24.
du syllogisme a une conlre-parlie, dont le réalisme scolasUtlue acceptera et développera toutes les conséquences : l'existence d'une hiérarchie de réalités transcendantes correspondant à l'ordre de généralité des propositions. Si donc le logicien se refuse à cette débauche d'imagination dogmatique, s'il s'interdit de déserter la sphère des relations où il est nécessairement placé, il ne lui reste qu'une alternative. Ou bien il envisagera les prémisses pour elles-mêmes, en les détachant de tout ce qui peut les justitier, et il y verra de pures hypothèses S comme avaient fait les Stoïciens dans leur curieuse rectification de la logique aristotélicienne-, qui devance ici l'une des plus précieuses découvertes de la logique contemporaine. Ou bien, et nous restons alors dans le cadre de l'aristotélisme, la vérité des prémisses sera solidaire de l'analyse inductive qui a préparé la conception des propositions générales ^.
Bon gré mal gré, le syllogisme aristotélicien ramène l'esprit à la considération de l'induction régressive, de cet ordre pour nous qu'Aristote s'était proposé de dépasser; considération d'autant plus difficile à éviter que sans elle nous ne saurions quelle expression correcte donner à l'universalité de la prémisse. B s'affirme universellement de k, dit Aristote* ; mais, se sont demandé les générations de penseurs qui ont agité depuis Aristote les problèmes de la logique, cela signifie-t-il que lous les A font partie de la classe B, ou que le caractère B appartient nécessairement à A? Dans le premier cas, le syllogisme s'interprète en extension; il donne ainsi prise à l'accusation de cercle vicieux ou tout au moins de pétition de principe ^ Dans le second cas, il s'interprète en
1. Cf. 1,^/1., I 10-30'' 32 : tô Tuij.Tiï'paajj.a o-Jv. k'tJT'.v àva^xaiov ôlti^ih;, à'ù.'oi. toOtoiv ovTwv àvaynarov.
2. Cf. Brocliard : La logique des Stoïciens, Archiv fiir Geschichte dcr Philosophie, t. V, 1852, p. 436 et suiv.: et Etudes, p. 224 et suiv.
3. I An. II, 23-08" 33 : ^-jav. y.hj o-jv upÔTepoç -/.cî'. yvwptfxwTcpoç ô b:à. toO {iÀto-j (7y).).oytap.ôç, r|(j.ïv S'âvapyÉTTspo; ô 8ià tr,; ETtayMYriÇ. Cf. Phys., I, 184'' 16, et Top. 1. VIII, 1-136" 4.
4. I An., I, 1-24 h 28 : Xlyoaev fjé to xarà irav-rôc y.aTr;yop£ra6at, oTra-; [i.rfibi -q la{iz~.-i Tfiiv TO-j {iTioy.eiu.c'vo-j, xaÔ'oO Odt-repov où leyQrinE-zoLi. D'ailleurs, comme le remarque M. Maier, op. cit., II, Tubingue, 1900, p. 13, n. 2, l'affirmative universelle se traduit indifféremment par les deux expressions tï^vt! uuâpxstv et TravToç y.afoyopîtaOai, qu'on trouve identifiées sans plus d'explication dans leii Premiers Analytiques, I, 4. 26" 23 : 'U7tap-/É-7w yàp xô [i.hj A itavrl tw B, zh 8a B T'.vi z(ù r* oùxo'JV £t ïo-ri TravTÔç y.aTr,yopErTOa; to iv dep/-^ Xî/Osv, îvâyxr, to A xivt Tôi r •jTzipyj.iv .
3. L'objection qu'Aristote avait aperçue et essayé de prévenir (Maier, op. cit., t. II, p. 1, p. 173, n. 1) est classique depuis les Hypotyposes pyrrhoniennes de Sextus Empiricus, II, 196, éd. Bekker, 1842, p. 102. Voir Vailati, La méthode déductive comme instrument de recherche. Revue de Métaphysique, 1898, p. 683, et Scritti, hcipzig et Florence, 1911. pi 133.
LES PnOBLKMES i)K, LA LOOIOIIK l'OUMKLLE 81
i(imj)réhcnsion; il se fonde sur rinliércncc et la connexion dos ( (iiicopts au risque de ne plus se plier avec autant de facilité un (roxartitude à la rit^nour algébrique d'un algorithme'.
Le dél)al osl vilal; conuiKMit essayer do le trancher, sans se rcft-rer au mode d'acquisition des j^rcnnsses, sans examiner la vi-iiification de l'induction préalable? Orsur ce point la réponse (I Aristole est complexe, et nous allons voir ici se traduire dans -i< conséquences et sous une forme explicite la dualité des cxix'rionces biologiques qui ont présidé à la naissance du syllonisine. 11 y a deux degrés dans l'induction aristotélicienne : Tun (|ui va de l'individu à l'espèce, l'autre de l'espèce au genre; et à chacun de ces degrés correspond une opération de nature différente. Le genre est une somme d'espèces; la classe des animaux <;uis fiel est épuisée, quand les espèces cheval, homme ei mulet -(Mil énumérées-. De fait, affirmer que tous les poissons sont nripares, c'est passer en revue toutes les espèces à nous connues, en nous réservant d'ailleurs d'éliminer les exceptions apparentes ^ràce à une refonte convenable de notre définition du poisson. L'induction énumérative des Premiers Analytiques est le procédé naturel et nécessaire à la formation des classes supérieures. Mais il n'en est nullement de même pour la formation de l'espèce proprement dite : le rapport de l'individu à l'espèce est un lien immédiat, un acte indivisible d'intuition. Bucéphale, pour un regard partiel qui ne s'attache qu'à la forme de la tête, peut a\oir l'apparence d'un bœuf; l'observateur attentif y retrouve les traits caractéristiques et les organes essentiels du cheval. II y a ainsi une sensation de l'universel : xcà yàp ulafiâ^iTOLi aèv tox7.6' 'V.y.TTov, "/"j ô'a'caÔTi'j'.ç to\j xaOôXou Ittiv, O'.o'J avOpioTrou, a/X' où RaXÀiou •vOpojiTou^ Cette sensation, impliquée dans les premières démarches de la pensée comme le montre le début de la Physique,
1. Voir en particulier Coulurat, La logique de Leibniz, 1901 p. 387 : « La logique algorithmique (c'est-à-dire, en somme, la logique exacte et rigoureuse) ne peut pas être fondée sur la considération confuse et vague de la compréhension ; elle n'a réussi à se constituer qu'avec Boole, parce qu'il l'a fait reposer sur la considération exclusive de l'extension, seule susceptible d'un traitement malhématique. >■
2. II An., II, 7-92°.37 : ô Ètkxywv S-.à tôjv xa6' £/.aaTa ô-qltiyj ovTtov [££cy.vu(7'.v]
3. II An., II, 13-100M6. La traduction de sensation répond à l'intention d'Aristote, mais à la condition de ne pas chercher une interprétation littérale du point de vue psychologique. Le texte de An., i, 31-88"2 est formel : où yàp ^v ToO -/.aÔdXou a'i(70T,rric. Il s'agit de ce sentiment immédiat, de cette intuition intellectuelle, qui est la fonction la plus haute du voOç; II An., i, 23-84'' 39 : èv U]iXko'{is[i.û> xh £v ■Kpô-îXGiç aijiîffo;, Èv ô'à.izoôt'.it'. vcal iTC'.TTrip.r, o vov:. Eth. Nie., VI, 9-1142''2.5 : ô \i.ï'/ yào vo-j? twv opwv, wv oùx eu-ct Xôyo;.
Brunschvicg. — Les étapes. ^
est capable de prendre une forme précise ; mais elle conserve son caractère immédiat, elle est une sorte de sentiment intellectuel. Cesl pourquoi l'induction qui discerne l'unité spécifique est tout à fait distincte du processus proprement arithmétique dont résulte Télément générique. La dualité de ces formes d'induction, décrites avec tant de netteté par Aristote, s'explique naturellement, puisque le lien du prédicat au sujet est d'ordre tout dilTérent suivant que le sujet est une réalité individuelle ou une classe logique '. 11 conviendrait pour donner à ce lien une expression exacte de recourir à deux symboles de copules, comme l'a fait si heureusement M. Peano^.
48. — Sur un autre point encore l'apparence purement formelle qu'on a prêtée à la logique d'Aristote masque une conception très particulière, d'ordre dogmatique et métaphysique. En effet, la portée des conclusions est relative au coefficient de vérité qui est accordé aux prémisses ; or, l'attribution du prédicat au sujet peut avoir la valeur d'une relation nécessaire, la valeur d'un fait ou la valeur d'une simple possibilité^; de là, dans les Premiers Analytiques^ la théorie laborieuse et subtile des syllogismes modaux.
La distinction a paru suffisante, tant que la spéculation humaine s'est placée d'emblée dans l'être, et a borné l'effort de son analyse à en définir les degrés. Mais il n'en devait plus être de même quand la réflexion moderne a mis en question le
1. Il est à remarquer qu'on trouve dans Leibniz le principe de cette distinction; «je ne disconviens point, écrit-il, dans Ic-i Nouveaux essais sur Ventendement humain (livre Ill.chap. ni, § 6), de cet usage des abstractions; mais c'est plutôt en montant des espèces aux genres que des individus aux espèces. »
2. Soit a une classe, xza signifie : « x esl un a ». Soient a et 6 des classes, a o b signifie : « tout a est b ».
Ces deux signes ont des valeurs distinctes, et M. Peano montre par ditréreuts exemples la diversité des opérations qui s'y rattachent. Ainsi on peut poser,
