LES DEFINITIONS D EUCLIDE

51. — Les Éléments d'Euclide commencent par une série de définitions ; mais, si les définitions sont les principes de la géométrie, ce n'est pas au sens fort du mot principe ; elles n'expriment pas les essences des choses, elles ne correspondent pas à des synthèses d'éléments intelligibles. On ne trouve pas chez Euclide la définition réelle qui, selon l'expression classique de Leibniz, « fait voir la possibilité du défini »*. Les définitions euclidiennes sont des « définitions nominales », formées avec le seul souci d'apporter le maximum de clarté dans le langage, en se rapprochant des données élémentaires de l'expérience.

Ainsi, c'est un fait naturel qu'il y a une limite à partir de laquelle la division ne correspondrait plus à aucun progrès appréciable; c'est ce que le « physiologue » appelait l'a/ome, ce que le géomètre appelle le point. Le point est ce dont il n'y a pas de partie : StkjleTov £(7tiv,o& [asooç oùOév (1. I, déf. L). De même qu'on conçoit le point, c'est-à-dire un élément qui n'a pas de longueur, on conçoit une longueur qui n'a pas de largeur (déf. Il), ou une surface qui n'a que longueur et largeur (déf. V). Les points sont alors considérés comme les extrémités des lignes (déf. III), et les lignes comme les extrémités des surfaces (déf. VI).

Les définitions de la ligne droite et de la surface plane ont pu passer, à titre égal, pour des énigmes insolubles ou des merveilles de profondeur. La ligne droite est celle qui est ex œquo en tous ses points : EOOsTa yf.aa}x-/- sttiv, v-tiç èl l'aou toîç £!p' lauTTJç (7r,[X£;o'.; xsTrat (déf. IV). — Le plan est la surface qui est ex œquo pour toutes les droites qui y sont situées : 'Etti-heSo; ÈTri'fâvsià êffTiv, r)Tiç i\ t(Tou raTç ï-ù ' laLtTTJç etiOstatç xeÎTai (déf. VII). En fait, dit Paul Tannery, « ces définitions paraissent provenir de la technique de l'art de bâtir, et n'avoir dès lors qu'une portée empirique^ ».

1. Nouveaux Essais, liv. III, chap. m, § 19. Cf. la aole de Heath. op, cit., l. 1, p. 144 et suiv.

2. Apud Histoire des mathématiques de Zeuthen tr. Mascart, p. 94, n. 2. La suggestion de Paul Tannery invite à penser que ces idées de ligne droite et de surface plane ont été acquises par des procédés de comparaison : en aucun point de la ligne construite, sur aucune direction de la surface construite, on ne constate un défaut de coïncidence entre ce qu'on a construit et l'instrument qu'on a choisi pour le contrôle. Ces deux notions : vérification et négation de différence, impliquées dans la définition de la ligne droite, sont celles qui se retrouvent à l'analyse comme les conditions nécessaires à l'introduction

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Dans les autres d(''nnilioiis du |>ieiiiior livre la tendance se manifeste h disposer les notions suivant une hiérarchie da genres et iVespèces, qui rappelle exactement la classification aristotélicienne. T^n genre nn^\c plan (déf. VIII), Euclide passe à Vespèce des angles reclilignes (déf. IX); les angles rectilig-ncs seront à leur tour ou droits ou obtus ou aigus (déf. X, XI, XII). Pour les figures une hiérarchie du même ordre s'établit; l'élément logique tiré par abstraction de la considération des lignes ou des espaces s'appelle ici le terme. Le terme est ce qui est la limite de quehiue chose : ô'poç Ict^v, 8 nvô; I^t-. Tiep-jt; (déf. XIII). Tout ce qui est enfermé dans un ou plusieurs termes est une figure (déf. XIV). Il y a une figure plane qui est comprise sous une seule ligne, toutes les droites qui sont menées sur celte ligne d'un point intérieur de la figure sont égales entre elles; la figure est le cercle et le point intérieur est le centre du cercle : xjkXo; è^tI rjyr^y.'x I-ctïsoov û-o atî; YpaaaYjÇ 7r£p'.î/o;j.£vov, Tcooi •?jV a:f>' Ivoç c:'i\u.Z'.o'j twv svtô; zoZ G/r^ij-'j-roç ■/.îiu.svcov TiôcTai aï 7rpo7;r''irTO'J7a'. sùOsTxt "nxi àXXrjXx'.ç sît'.v, KÉv-pov os toû xûxXou xo îy,asTov xaÀîiToti (déf. XV-XVI)'. D'autre part les figures rectilignes sont à trois côtés, à quatre côtés, etc. (déf. XIX). Les trilatères sont ou équilatéraux ou isoscèles ou scalènes (déf. XX). Autre principe de division pour les trilatères, la considération de l'angle : trilatères rectangles, trilatères obtusangles, trilatères acutangles (déf. XXI).