LES AXIOMES

52. — Plusieurs des définitions du premier livre d'Euclide sont donc exactement du type qu'Aristote préconise, elles se font par le genre et par la difTérence -. Le syllogisme d'Aristote pourrait donc s'y appliquer tel quel ; on atteindrait ainsi une série de propositions où l'on transporterait à l'espèce des angles obtus les propriétés génériques des angles, où l'on transformerait en connaissances explicites les vérités implicitement contenues dans une affirmation générale. A des données empi-

des éléments fondamentaux dans la science. Mais à l'époque où Euclide écrit, on ne tient plus compte de ce travail de l'esprit, qui est devenu inconscient; on retire en quelque sorte l'instrument de contrôle, et l'on ne conserve que la régularité du tracé.

1. Cf. Platon, Parniénide, 1.37 E : ^TpOYyJAov yé tto-J èctt'. to-jto, ou xv Ta sw/ara TiavTa-/7î iizh toO 'léTO-J î'irov «Trâ-//,.

2. Voir en particulier Topic, I, 8-103" l.'i : ô ôpi7|j.oc âx vâvouç /.ai 8sa:f.op(ov

riques telles que les définitions euclidiennes, ne peut s'appliquer, en effet, que la logique des classes, et la logique des classes ne peut que suivre en sens inverse le chemin que l'abstraction avait d'abord parcouru. La comparaison d'Aristote et d'Euclide sert donc à préciser les termes du problème qui se pose à partir des définitions. Pour passer de la logique des classes à la géométrie, il faudra procéder à une double élaboration, l'une portant sur le mode de déduction, l'autre sur les objets même de la science; et c'est à quoi serviront les deux ordres de principes que nous allons voir successivement à l'œuvre : axiomes, xotva\ swoixt, et postulats, atT7Î[ji.aT7..

Le premier axiome d'Euclide pourrait être appelé le principe du syllogisme mathématique : Ta rw xy-rw "çtt. xal àAXXr,AO'.; e^tiv t(7a. Les choses (nous introduisons cette expression afin de respecter le vague de la formule grecque) égales à une même chose sont égales entre elles. L'axiome peut s'expliciter sous la forme d'un syllogisme :

Mais à ce syllogisme ne serait-il pas possible de donner une forme dont la vérité fût évidente et dont nous pussions faire dépendre l'axiome euclidien d'égalité? C'est ce qu'a pensé Apollonius, et voici comment il raisonnait : puisque A égal à B comprend le même lieu que lui, et puisque B égal à C comprend le même lieu que lui, A comprend aussi le même lieu que C, et par conséquent A et C sont égaux^ A quoi Proclus, qui nous a conservé ce raisonnement, faisait observer déjà que, sans s'en apercevoir, Apollonius glisse dans sa démonstration deux hypothèses : à savoir que les figures qui comprennent le même lieu sont égales entre elles, et que les figures qui comprennent le même lieu qu'une autre sont égales entre elles. En d'autres termes, Apollonius a déplacé le champ de l'évidence; il ramène l'égalité à l'identité de mesure spatiale alors que précisément c'est une question de savoir si l'identité de mesure spatiale peut être assimilée à l'identité logique. Par suite, lorsqu'on tranche cette question par l'affirmative, on se trouve

1. Proclus. Commentaire sur le premier livre d'Euclide, éd. Friedlein, 1873, p. 194, Cf. Paul Tannery, Apollonius de Perge. Bulletin des Sciences mathématiques, 1881, p. 126.