CHAPITRE I

Théorie des plaques planes minces.

Il est nécessaire de faire une discussion succincte sur la théorie des plaques planes, car elle nous sera utile quand nous traiterons les enveloppes minces.

C'est Poisson qui a donné, le premier, la théorie de lPéquilibre et du mouvement vibratoire des plaques planes, homogènes et isotropes, en admettant que les forces élastiques et les déformations sont développables en séries convergentes suivant les puissances croissantes de la variable qui donne la distance d’un point quelconque de la plaque à a couche moyenne; en gardant donc les deux premiers termes au plus de ces développements, on arrive aux vraies équations indéfintes.

De Saint-Venant a porté l’objection que cette manière de procéder n'est pas légitime, et que même elle est fausse quand on veut traiter le problème le plus général des plaques planes de contexture quelconque.

M. Basset (!) dit que cette objection ne doit pas arrêter, parce que alors il faudrait former la même objection pour la plupart des investi-

(1) Phiosophical Transactions of the R. Soc. of London, Vol. CLXXXI, p. 435.

10 C. MALTERZOS.

gations physiques, EU il est bien vrai qu'une quantité connue comme fonction de la position peut être développée par la formule de Taylor, excepté le cas de discontinuité qüand on passe d'un point à l’autre. Mais M, Boussinesq avait, par avance, répondu à cette justification de là méthode de Poisson, que, s'il est parfaitement permis de développer les fonctions autour de chaque point, dans une petite partie de leur champ total de variation, qui est iet l'épaisseur de la plaque, il n'en est généralement plus de même quand il s'agit de ce champ tout enlier,

Kivehholf à proposé une autre méthode, qui consiste à admettre que chaque ligne droite, primitivement normale aux couches de la plaque. reste droite et normale sur ces couches après la déformation. Cela parait suffisamment exact quand les plaques sont isotropes, ou encore quand les bases sont des plans de symétrie de contexture, mais elle est Russe quand la contexture de la plaque est quelconque. D'ailleurs. comme l'a montré M. Maurice Lévy, l'hypothèse de Kirchhoff est équivalente à celle de Poisson. M. Gerhing à essayé, sur l'indication de Kirchhof, de traiter sans aucune hypothèse douteuse le problème, en S'appuyant sur des considérations cinématiques, qui, d'après M. Boussinesq, manquent de rigueur ou auraient tout au moins besoin d'être complètées,

Si l’on appelle les composantes des forces élastiques, exercées par unité de surface sur les élêéments menés par un point (+, », =) de la plaque, N,, N,, N,, T,, T, T,, et si la couche moyenne à l’état primiuf, où le plan tangent en ce point à la couche moyenne, après la déformation, est pris pour plan des æy, et la normale à cette couche comme axe des 3, Poisson et Kirchhoff sont arrivés à poser séparément

(1) (T,, Ts) = 0, N=0.

Mais de Saint-Venant, objectant que les eforis tranchanis T,. T, ont un rôle souvent indispensable à considérer, a jugé désirable de prendre comme point de départ de la théorie des hypothèses moins étroites que ces relations (1). Cela n'empèche d'ailleurs nullement de poser celles-ci en première approximation seulement.

M, Boussinesq, de son côté, à donné en 1871 une théorie des plaques planes minces, Ces plaques sont formées de couches sensiblement

planes et parallèles, et dont la contexture constante où assez lentement variable d’un point à l’autre d’une même couche pourra changer rapidement, et même avec discontinuité, d’une couche à ses voisines. Sans aucune hypothèse douteuse, il démontre effectivement les relations (1) en première approximation.

M. Boussinesq y est revenu dans un second Mémoire, paru en 1870, Il conçoit alors la plaque divisée en tronçons sensiblement prismatiques, dont chacun, limité par la surface même du corps et par deux couples de plans parallèles menés à peu près normalement à cette surface, a ses trois dimensions comparables entre elles. Se basant sur Ja lenteur de la variation de l’état physique dans le sens de grandes dimensions de la plaque, et sur ce que les équations de l'équilibre du tronçon donnent alors N, très petit devant (T,, T,) et T,, T, très petits eux-mêmes devant N,, N,, T;, il peut poser, à une seconde approximation, ” de TD AE Na TL

(dx, dy) ; (dzx*, dx dy, dy?)

Oo,

En supposant la contexture du prisme symétrique par rapport au plan æy (ce qui rend N,, N;, N;, T, fonctions linéaires des quatre déformations correspondantes 9,, 0,,0,,g,,, @tT,, T, fonctions linéaires des deux autres déformations £,., g,.), 1l trouve

3 TACRIT SAR F d (0x, dy, 0z, Bzr) Lu (5) A(Z,Y) ? (dx?, dx dy, dy?)

etil arrive ainsi aux expressions [NZ C(S 0x +8 07 + Er), (4) 4 Na C(B dx + 6, dy + F5 8zr) ( T;=C(y 0x + y dy FY Ezr)-

11 suppose la contexture telle que le coefficient positif d'élastieité C puisse seul varier d’un feuillet à l’autre, ou que les coefficients 5, 8, ..., y’ soient indépendants de z; et il déduit finalement des dernières relations (3), ainsi que de ces formules (4). d’une part, les expressions, linéaires en z, de 0x, dy, Gr. et, d'autre part, les formules des tractions exercées sur les sections normales de la plaque et celles des couples de flexion ou de torsion qu'elles éprouvent.

12 C, MALTÉZOS.

Conditions aux limites. — Les conditions au contour ont été trouvées par Poisson et Cauchy au nombre de trois pour la flexion. Elles découlent des équations définies de l’élasticité qui sont trois.

Kirchhoff, en considérant l'expression du travail des forces élastiques, est arrivé à deux conditions aux limites, qui suffisent. IT était donc nécessaire de parvenir aux mêmes conditions par la méthode directe, sous peine de donner raison à M. Gerhing, avançant que l’emploi de la méthode de Kirchhoff est indispensable dans la théorie de l’élasticité. C’est ce qu'ont fait M. Boussinesq d’une part, et Sir W. Thomson et Tait (*) de l’autre, en se basant, indépendamment l’un des autres, sur les mêmes considérations géométriques.

Voici, en quelques mots, ce qu’a fait M. Boussinesq. Les plaques étant, par exemple, circulaires, sur chaque bande de longueur ds du cylindre contournant agissent les trois forces F, ds, F,ds, F, ds suivant la normale dn à la bande, suivant sa base ds et suivant sa hauteur, plus deux couples, M, ds normal à l’élément ds du contour et M, ds parallèle à la bande même, le troisième couple étant négligeable de l’ordre de ds?. Le couple M, ds peut être supposé composé de deux forces M,, — M, de sens contraires, appliquées le long de deux génératrices qui passent par les extrémités de l’élément ds. Si l’on conçoit une série de bandes contiguës du cylindre contournant séparées par des génératrices infiniment voisines, les couples tels que — M, ds

PA 0 à dM :

seront ainsi remplacés par deux forces — M, et M, + —*; qui auront , LIMIT ME une résultante égale à Finalement, on aura, par unité de lon- : dM,

gueur, trois forces F,, F,, FE, + et un couple M..

ds

€ Poisson, dit-1l, ayant négligé de remplacer les couples parallèles au cylindre contournant par des forces dirigées suivant les génératrices...., les a regardés comme représentant un mode d’action distinct, exercé sur chaque bande, ce qui lui à donné une condition de irop. »

(1) Treatise on natural Philosophy. )