CHAPITRE II

Historique des théories des enveloppes solides, minces, et comparaison de la grandeur des vibrations longitudinales et transversales.

On rencontre quelques notions sur le mouvement vibratoire des enveloppes minces dans la Théorie mathématique de l’élasticité des corps solides de Lamé (1852).

Lamé examine les enveloppes cylindriques et sphériques et le timbre hémisphérique. Il finit en ces termes : « On remarquera que les vibrations des timbres sont longitudinales, tandis que celles des cordes, lames, tiges sont transversales. » Cela veut dire que dans les timbres les vibrations longitudinales prédominent. Nous verrons dans la suite que cette assertion est plus que discutable.

En 1874, Aron a appliqué la méthode de Gerhing, pour les plaques planes, à la question des enveloppes. M. A. Love dit que les changements d’axes, quand on passe d’un point à l’autre de la surface moyenne de l'enveloppe, ne sont pas pris en considération dans les calculs; d’où il arrive que les résultats sont faux.

En 1881, Lord Rayleigh, dans un Mémoire intitulé : On the infinitesimal Bending of surfaces of revolution (*), a examiné brièvement la déformation d’une surface de révolution, en admettant qu’une ligne tracée sur cetle surface a la même longueur avant et après la déformation. C’est une hypothèse non seulement loin d’être évidente, mais fausse quand il s’agit des régions près des bords libres où l’extension est sensible. Lord Rayleigh, en y revenant, admet qu’une déformation quelconque entraine toujours l’extension sur les bases, mais qu'on peut supposer la surface moyenne de la cloche (ou feuillet moyen) inextensible.

En 1882, Émile Mathieu a publié un Mémoire Sur le mouvement vibratoire des cloches (Journal de l’École Polytechnique). C’est la pre-

(1) Proceedings of the London Math. Soc., Vol, XHI. M.

Co

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mière théorie générale des cloches après celle d’Aron. Mathieu a fait les mêmes hypothèses que Poisson sur les plaques planes. Donc, tout ce qui à été dit à propos de la théorie de Poisson sur les plaques planes est en vigueur dans le cas actuel.

Les cloches de Mathieu ont une épaisseur variable, quand on s’avance du sommet vers le bord unique; elles sont de révolution, isotropes et homogènes. Comme il y a un potentiel, 1l applique, pour trouver les équations du mouvement vibratoire, la méthode de Kirchhof?, c'est-à-dire qu'il cherche l'expression du travail des forces élastiques, et 1l la trouve de la forme

— p(Aes + Be).

Mathieu dit que, quand une cloche vibre par les coups du battant, les tbrations tangentielles (longitudinales) sont, en général, du même ordre de grandeur que les vibrations normales. Si done on admet cela, on peut, comme a fait M. Mathieu, négliger le terme Be° devant le terme A+. Nous reviendrons là-dessus dans la discussion de la théorie suivante de M. Love, car ce savant a répété la même chose et en a été vivement critiqué par Lord Rayleigh.

M. A. Love a publié, en 1888, dans les Phrosophical Transactions (vol. CEXXIX, p. 491-546), un Mémoire sur le même sujet (*). Il y examine les enveloppes minces, homogènes, isotropes et d'épaisseur constante. La méthode dont il a fait usage est celle de Clebsch ou de Gerhing, et comme M. Boussinesq avait contesté les équations cinématiques de Gerhing, car on y avait négligé quelques dérivées et introduit d'autres du mème ordre de grandeur que les négligées, M. Love a négligé toutes les autres dérivées du même ordre de grandeur. Il est ainsi arrivé pour les enveloppes à des équations incomplètes. Son travail est encore incomplet en ce qu'il ne tient pas compte, quand il passe de la surface moyenne à une couche voisine de l'enveloppe, de la variation de l'aire de l’élément de surface. Il arrive lui aussi, pour l'expression du travail, à la forme

(1) The small free vibrations and deformation of a thin elactiw shell.

e étant l'épaisseur de l'enveloppe. Et comme il lui parait que le terme B'e° est infiniment petit du troisième ordre par rapport au terme A’e, il le néglige; ainsi il peut satisfaire aux conditions aux limites qui sont au nombre de quatre. Le coefficient A’ est fonction des quantités qui donnent l'extension de la surface moyenne, tandis que B’ est fonction non seulement de ces mêmes quantités, mais encore des quantités qui donnent le changement de courbure. M. Love, comme Mathieu, admet que les fonctions qui représentent les changements de courbure et celles qui donnent l'extension sont du même ordre de grandeur.

Cela entrainait une réponse de Lord Rayleigh, dans un Mémoire paru le 1° décembre de la même année (1888), sous le titre : On the bending and vibration of thin elastic shells, especially of cylindrical form. « Quand sur une feuille matérielle mince, dit l’auteur, agissent des pressions, la résistance qu’elle oppose à la flexion (bending) est très petite comparativement à celle qu’elle oppose à l'extension. Il est vrai que la flexion entraine une extension (sauf sur la couche moyenne), mais très petite, et par conséquent on peut, pour la facilité, prendre la lame comme tout à fait inextensible .» Plus loin, Lord Rayleigh s'exprime en ces termes : « À première vue, il paraîtrait curieux comment, de deux termes qui entrent dans l'expression de l'énergie potentielle, l’un, proportionnel à &*, est celui qu'il faut conserver, tandis qu'on néglige l’autre, le proportionnel-à €. La cause est la grande énergie potentielle qui accompagne l'extension. La grandeur comparative du coefficient est contre-balancée par la petitesse de l'extension, au carré de laquelle l'énergie est proportionnelle. » C’est très bien exposé; mais qu'on me permette de dire qu'il ne prouve pas encore que le terme Ac est négligeable devant le terme Be*. Cela peut seulement prouver que les deux termes sont du même ordre de grandeur. En effet, si la flexion est infiniment petite du premier ordre et l’extension du second, B sera de l’ordre de e? et A de l’ordre de e'; donc les deux termes de l'énergie potentielle seront de l’ordre de &°. Ou si l’extension est infiniment petite du premier ordre, tandis que la flexion est finie, À sera de l’ordre de e?, et l'énergie sera proportionnelle à ef. Cette discussion a lieu pour les parties éloignées du bord libre, car tout près de celui-ci les vibrations longitudinales peuvent devenir

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comparables aux vibrations transversales; mais elle ne nous a pas encore permis de choisir entre Ac et Be le terme qu’il faut négliger. Pour pouvoir décider, il fallait recourir à l'expérience. Et d'abord la longue durée de la persistance du son des cloches et enveloppes en général nous apprend, sans aucune autre expérience, que les plus in:portantes des vibrations sont les transversales. Mais on peut faire des expériences sur diverses cloches. En voici deux (‘): versons dans un verre une quantité d'un liquide quelconque, et faisons vibrer le verre par un coup d'archet ou de battant; on voit alors des gouttelettes se précipitant hors de la masse liquide; cette précipitation des gouttelettes, qui était connue de Lamé lui-même, est due aux vibrations normales à la surface de la cloche, ou quasi normales. La surface liquide sera divisée en quatre parties en mouvement, que sépare un espace en croix presque en repos, quand le son rendu par le verre est le son fondamental.

Voici une seconde expérience. Tapissons la face intérieure du verre avec du sable fin et donnons un coup d’archet ou de battant; alors on voit les particules sablonneuses qui étaient massées à la partie inférieure sauter presque verticalement, ce qui montre que les particules de la surtace vibrent normalement.

De toute cette discussion résulte que les vibrations longitudinales des enveloppes sont très petites devant les transversales; mais il n’en résulte pas que le terme Ae soit négligeable devant Be. Il est très probable qu'il en est ainsi la plupart du temps: mais cela n'empêche pas qu'il pourrait exister des cas où le terme Ae est comparable à Be*, et d’autres encore où Be* est négligeable devant Ace (?).

Pour ces raisons, dans les calculs que je ferai plus loin, je considère Ae comparable à Be* et je conserve, par conséquent, les deux termes. Etsi, dans les applications, l'extension est du même ordre de grandeur

(1) Exécutéos par l'éminent savant M. Cornu et moi; elles ont révélé un autre fait très important, le déplacement des lignes nodales, que je discute au Chapitre relatif aux battements des cloches. Ces expériences sont très connues, mais je les décris à cause du déplacement des lignes nodales.

(?) Par exemple, si e augmente, Lout en restant petit (pour que la théorie y soit applicable), la résistance à la flexion va en augmentant etil peut arriver que pour une épaisseur convonable Ae soit comparable à Be.

que la flexion, on négligera les termes multipliés par 2° et on aura des équations plus simples qui seront appelées équations extensionnelles.

Revenons maintenant, pour en finir, à l'historique des théories des enveloppes minces.

En 1890, M. 4. Basset a fait paraitre dans les PAilosophical Transauons (Vol. CLXXXI) un Mémoire sous le titre : On the extension and Jlexure of cylindrical and spherical thin elastic shells. Comme on voit, il n'a traité que la sphère et le cylindre de révolution. En appelant 2 la distance d'un point de l'enveloppe à la surface moyenne, et s'appuyant sur ce qu'on peut toujours exprimer une fonction de € par la formule de Taylor, il trouve

Pour déterminer les coefficients A, A,, À,, il fait l'hypothèse suivante : « Quand les faces de l’enveloppe n’obéissent pas à des forces superficielles, c’est-à-dire à des pressions ou des tractions, N°, T', T!, dans l’intervalle où elles dépendent de & et £’, sont capables de s’exprimer par la forme u, +u,+u,+...+u,+... (u, étant une fonetion homogène et de degré n par rapport à & et #). » C’est donc l'hypothèse de Poisson modifiée.

Le travail de M. Basset a un grand mérite. C’est lui qui le premier 2 introduit dans le calcul la notion de la variation de l'aire de l'élément de surface, quand on passe de la surface moyenne à une autre.

Peu de temps après, M. le professeur Lamb a publié un Mémoire intitulé : On the deformation of an elastic shell (* ). Je citerai à sa place le dernier travail de M. Love, qui est le plus complet fait jusqu’à présent sur les enveloppes, et qui résume celui du professeur Lamb et de M. Basset. M. Love, il y a quelques mois, a publié un 7raité de théorie mathématique de l’élasticité (?), dont les Chapitres XXJ et XXI du Volume II sont consacrés à la théorie générale des enveloppes minces et à ses applications. La méthode suivie est la Cinématique (Gerhing) et les enveloppes traitées sont isotropes, homogènes et d'épaisseur constante.

(1) London Math. Soc. Proc., Vol. XXI; 1890.

(2) À Treatise on the mathematical theorr of elasticity ; 1893.

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On voit, par tout ce qui précède, que le problème des enveloppes quelconques d'épaisseur variable n'a pas été touché. Il est vrai que Mathieu en a fait la théorie pour les cloches de révolution, mais encore les équations qu'il a posées sont les extensionnelles. D'ailleurs la seule de ees théories qui n’est pas basée sur une hypothèse douteuse est la Cinématique, par laquelle n’a été examiné que le cas de l’enveloppe d'épaisseur constante, homogène et isotrope.

Dans ce travail, nous avons voulu donner la théorie des enveloppes solides, minces sans hypothèse douteuse, et nous sommes guidé à cela par la théorie pour les plaques planes de M. Boussinesq.

Nous traitons le problème le plus général possible des enveloppes solides minces, d'épaisseur variable d’une manière continue d'un point à l’autre. Nos enveloppes se constitueront d’une infinité d'enveloppes couches, dont la moyenne à laquelle tout sera rapporté s’appellera la couche moyenne; chaque couche sera homogène, mais la densité variera continüment d’une couche à la couche contiguë.

Des équations générales auxquelles nous parviendrons, on pourra aisément tirer les équations pour les enveloppes homogènes, isotropes, d'épaisseur variable ou constante.