XIII. — Porisme de Pappus

Étant données des forces P^, P2, P3 . • • , ^n-\ (n® IX), les deux polygones (celui des forces et le polygone funiculaire) servent à déterminer la force P,i, égale et opposée à la résultante des forces données {voir \di Jig, 3 dans laquelle n = 5). En efl'et, construisons une ligne brisée 1, 2, 3. . ., (n — 1), dont les côtés soient équipoUents aux forces données; il est clair que la droite n qui joint l'extrémité de la ligne brisée à son origine est équivalente à P,|. Prenons un pôle O, et construisons un polygone funiculaire dont les n — i sommets 1,2,3, ..., (n — 1) se trouvent sur les lignes d'action des forces données P|, P2, . . ., P„i, et dont les côtés (n,l) (1,2) (2,3). . .(n — 1; n) soient respectivement pa-

rallèles aux rayons qui projettent, de O, les sommets homonymes du premier polygone. La droite qui passe par le dernier sommet n du polygone funiculaire, c'est-à-dire par le point de concours du premier côté (ll,l) et du dernier (n — 1,11) et qui est parallèle au dernier côté n du polygone des forces, est la ligne d'action de P/^. Supposons que le premier côté du polygone funiculaire doive passer par un point fixe et que nous fassions mouvoir le pôle O sur une ligne droite ; les autres côtés tourneront alors autour d'autant de points fixes alignés ainsi que le premier sur une droite parallèle à celle que décrit le pôle (n** IX, 2®). Cet énoncé rentre dans le célèbre porisme de Pappus :

« Si m-\- i droites, situées arbitrairement sur un plan s^ entrecoupent dune manière quelconque, et qu^ ayant rendu fixes les m points d^intersection qui appartiennent à Vane déciles, choisie à volonté, on fasse mouvoir toutes les autres autour de ces points respectifs, pris pour pôles, tandis que m, — \ points de leurs intersections mutuelles, qui n*appartienncnt, en tout ou en partie, ni aux trois somm,ets dun même triangle y ni aux quatre sommets d'un même quadrilatère, etc., sont astreints à demeurer sur un nombre égal de droites données , prises pour directrices; toutes les intersections restantes des droites mobiles, en nombre triangulaire, décriront séparément d'autres lignes droites qui seront ainsi données de position en même temps que les directrices (i). »

XIV. — Propriétés des polygones funiculaires dont les pôles occupent des positions quelconques dans un plan.

Si nous considérons le point O comme susceptible d'occuper toutes les positions possibles dans le plan, les propriétés des deux polygones (celui des forces et le polygone funiculaire) peuvent se résumer dans l'énoncé géométrique suivant :

Soient dans un plan un potygone de n côtés \, 2^ 3, ...

(*) L'énoncé que nous donnons est la paraphrase du porisme de Pappus, faite par PoNCELET, au n° 498 de son Traité des propriétés projectivès ; Paris, 1822. Le texte original, que nous citons ci-dessous, se trouve dans la Préface du Livre VII de l'Ouvrage intitulé : Mathematicœ collectiones, édition de Commamdino ; Venise,

« Si quotcumque rectse lineae sese mutuo secent, non plures quam duae per idem punctum, omnia autem in una ipsarum data sint, et reliquorum multitudinem habentium triangulum numerum, liujus latus singula habet puncta tangentia rectam lineam positione datam, quorum trium non ad angulum existens trianguli spatii unumquodque reliquorum punctum rectam lineam positione datam taneet. »

[n — i)^ n,et n — i droites 1; 2^ 3, . . . (n — 1) respectivement parallèles aux n — \ premiers côtés du polygone. D^ un point O pris comme pôle et mobile d^une façon quelconque dans le plan, projetons les sommets du polygone donné. Imaginons ensuite un polygone variable de n côtés dont les n — i premiers sommets 1^ 2, 3, ... (n — 1) se trouvent sur les droites homonymes correspondantes, tandis que les n côtés (n, 1), (1, 2), (2, 3) • . . (n — Ij n) sont parallèles aux rayons qui projettent les sommets homonymes du pôle donné. Le point de rencontre de deux côtés quelconques (r, r4- 1), (s, S -+- 1) du polygone variable se trouvera sur une droite déterminée^ parallèle à la diagonale qui joint les sommets (r, r -f- i)? (5, 5+1) du polygone donné.

Ce théorème, dont la démonstration au moyen des ressources seules de la Géométrie plane ne semble pas aisée, résulte au conti'aire, directement et d'une façon évidente, de la considération des deux figures planes comme projections orthographiques de deux polyèdres réciproques.

XV. — Polyèdres réciproques correspondant aux deux figures r^atives à un système de forces.

Le polygone des forces est la projection d'un polygone plan ou d'un polygone gauche, suivant que les forces P concourent ou non en un même point. Comme on l'a vu au n° IX, 1°, dans le premier cas, les deux diagrammes réciproques sont formés l'un par le polygone des forces et le pôle O, l'autre par les lignés d'action des forces et par le polygone funiculaire correspondant au pôle O. Dans le second cas, on complète le premier diagramme par un autre pôle O' et le second par le polygone funiculaire correspondant à O'; cependant on a vu (n** XI) que les deux pôles peuvent coïncider, et que, dans ce cas, le premier diagramme devient aussi simple que possible. Mais, si l'on veut simplifier le second, il faut transporter le pôle O' à l'infini dans une direction arbitraire; le polyèdre, dont le premier diagramme est la projection orthographique, aura alors à l'infini le sommet de l'un de ses angles polyèdres; et comme le plan polaire d'un point à l'infini est parallèle à l'axe central, le polygone funiculaire correspondant à O'

aura tous ses côtés alignés sur une même droite (dont le point à rinfîni est O'). La position absolue de cette droite dans le plan orthographique étant encore arbitraire, nous pouvons la reporter à l'infini.

On arrive à un résultat encore plus simple de la façon suivante :

Supposons que l'un des angles polyèdres du premier solide se trouve au point à l'infini de l'axe central ; dans le premier diagramme le pôle O paraît seul, puisque les arêtes correspondant à l'autre angle polyèdre se projettent orthographiquement sur les sommets du polygone des forces.

Le plan polaire du sommet O' est maintenant à l'infini ; donc le second polygone funiculaire se trouve tout entier à l'infini. (Voirn^Y.)

Nous concluons de là que la forme la plus simple sous laquelle il soit possible de considérer^ comme diagrammes réciproques, le polygone des forces et le polygone funiculaire, relatifs à un système de forces en équilibre, situées dans un même plan (le plan orthographique), mais ne concourant pas en un même point, est la suivante : l'un des diagrammes est formé par le polygone des forces et les rayons projetant ses sommets d'un pôle O, et l'autre par les lignes d'action des forces, le polygone funiculaire relatif au pôle O et la droite de l'infini; le premier diagramme n'est autre que la projection d'un polyèdre dont les faces s'obtiendraient en projetant les n côtés d'un polygone gauche perpendiculairement au plan orthographique, ou d'un point pris à l'infini.

Le polyèdre réciproque, qui a pour projection le second diagramme, est la portion infinie de l'espace, limitée par un polygone et n plans passant par les côtés de ce polygone et prolongés jusqu'au plan de l'infini.

XVI. ~ Les projections orthographiques de certaines surfaces polyédriques sont les figures réciproques relatives aux travures réticulaires.

Passons maintenant à l'étude de diagrammes plus compliqués, qui se présentent dans la théorie des travures réticulaires (*).

(*) Nous appelons travure réticulaire un système plan de barres rectilignes réunies à leurs extrémités par articulations : le système est supposé soumis à des forces extérieures appliquées aux articulations (nœuds). Alors chaque barre est assujettie à une force intérieure longitudinale (traction ou compression).

Considérons deux surfaces polyédriques ou deux calottes polyédriques S et S' réciproques, dont les bords soient deux polygones gauches fermés (* ) ; soit II un polyèdre ayant pour base la surfaceS, pour sommet un point Û, pris arbitrairement dans l'espace et pour faces latérales celles qui sont déterminées par des plans passant par le sommet et les côtés successifs du bord de la calotte S; soit II' le polyèdre réciproque de II, c'est-à-dire le polyèdre limité par la surface S', le plan polaire w de û et les plans des angles du bord de S'. Projetons orthographiquement les deux polyèdres et nous aurons deux diagrammes réciproques, que nous allons maintenant étudier.

Supposons que le bord de la surface S ait n côtés et que cette surface ait m autres arêtes (2), et p faces. Le polyèdre II aura n-\-p faces et 2/1 H- m arêtes; par conséquent, le nombre de ses sommets sera m-\- n — /? -+- 2 : par conséquent, S a en dehors de son bord m — p -+- i sommets (3).

Réciproquement, U! aura m-\- n — p + 2 faces, n -{-p sommets et 2/1-1- m arêtes.

Supposons maintenant que la projection de S' soit la représentation d'une travure réticulaire possédant/? nœuds et formée de m barres rectilignes, et que les forces externes qui lui sont appliquées aient pour lignes d'action les projections des arêles du bord de S' et soient représentées en grandeur par les n côtés du polygone qui est la projection du bord de S (*). Alors la projection de la face de S', qui est dans le plan w, sera le polygone funiculaire des forces externes correspondant au pôle O, projection de Q, et les projections des m arêtes de S, n'appartenant pas au bord de la calotte, représenteront la valeur des forces internes auxquelles sont soumises les barres correspondantes de la travure, sous l'action du système des forces externes.

(') Si le bord de S est un polygone plan de n côtés, celui de S' sera un point, sommet d'un angle polyèdre à n faces.

(') On aura évidemment m^n.

(") Donc m ne saurait être inférieur à /? — i.

{*) Pour cela S ne devra avoir aucun sommet à l'infini, ce qui revient à dire qu'il est nécessaire que L' n'ait aucune face perpendiculaire au plan orthographique.

Les Fig, récipr.