COCHRANE

qu'elle exige, et surtout à la distinction qu'il est nécessaire de faire entre les diagonales paires et impaires (*). »

Mais, quand on parle de la résolution géométrique des problèmes relatifs à la Science des constructions, on ne saurait passer sous silence le nom de Culmann (2), le créateur si ingénieux et si estimé de la Statique graphique, auquel sont dues les belles et élégantes méthodes de cette science, méthodes qui, après avoir vu le jour à l'École de Zurich, sont enseignées maintenant dans les Écoles Polytechniques d'Allemagne et dans les Écoles italiennes d'ingénieurs.

Toutes les questions de statique théorique, aussi bien que celles qui se rapportent à certaines branches plus particulières de la pratique, sont résolues par Culmann d'une façon simple et uniforme, qui se réduit au fond à la construction de deux figures qu'il appelle Krâftepolygon et Seilpolygon. Et, bien qu'il ne considère pas ces figures comme réciproques, dans le sens de la théorie de Maxwell, néanmoins elles le sont; en particulier, les

(*) « When compared with algebraic methods, the simplicity and rapidity of exécution of the graphie method is vcry slriking; and algebraic methods applied to frames, such as the warren girders, in wich thcre are numcrous similar pièces, are found to resuit in fréquent clérical crrors, owing to the cumbrous notation wich is necessary, and especially owing to the necessary distinction between odd and even diagonals. » '

C-*) Die graphische Statik, Zurich, 1866. En 1875 a paru la 2" édition du tome I", avec de riches additions. Le lecteur est prié de lire la Préface de cette 2» édition allemande ainsi que les n"» 81 et 82. La Statique graphique a donné naissance à toute une série d'Ouvrages plus élémentaires. Voyez : K. von Ott, Die GrundziXge des graphischen Rechnens und der graphischen Statik; Mûnchen, 1871; — et le Chap. II de l'Ouvrage de F. Reuleaux, Le Constructeur (3* édition) ; Braunschweig, 1869;— L. Klasen, Graphische Ermittelung der Spannungen in den Hochbau- und Brùckenbau-Constructionen; Leipzig, 1878; — G. Hermann, Zur graphischen Statik der Maschinengetriebe ; Braunschweig, 1879; — G. Sy- DENAM Clarke, Thc principlcs of graphie Statics ; London, 1880; — J.-B. Ciialmers, Graphical détermination 0/ forces in engineering structures; London, 1881; — K. Stelzel, Grundziige der graphischen Statik und deren Anwendung auf den contitiuirlichen Tràger; Graz, 1882; — M. Macrer, Statique graphique appliquée aux constructions ; Paris, 1882; — et quelques Mémoires moins étendus et se rapportant à des questions particulières de MM. Moiir, IIarlaciier, W. Ritter, E. WiNKLER, etc. En Angleterre, outre les auteurs déjà cités, d'autres mathématiciens se sont occupés de la Statique graphique, comme cela résulte des Proceedings of the London Matheinatical Society, t. III, p. 233, 320-322. Voyez encore G. U.nwin, Wrought iron bridges and roofs; London, 1869; et !a Note bibliographique finale.

constructions géométriques que Culmànn donne dans le Chapitre V de son Ouvrage, consacré aux systèmes réticulaires (das Fachwerk), concordent avec celles qui dériveraient des méthodes dues à Maxwell.

Les constructions de Culmanh se rapportent encore à certains cas (qui ne sont pas traités par le géomètre anglais) dans lesquels il est impossible de construire des diagrammes réciproques.

IX. — Le polygone des forces et le polygone funiculaire peuvent se ramener à deux diagrammes réciproques.

Avant tout, je vais montrer que le Krâjtepolygon et le Seilpolygon {polygone des forces, et polygone funiculaire^ de CuLMANN peuvent se ramener à des diagrammes réciproques.

Étant données dans un plan (que nous supposerons toujours être le plan orthographique) n forces P< , Pg, . . . , P,i en équilibre, on entend par polygone des forces, un polygone dont les côtés i ,2 . . ./i sont équipoUents (*) aux droites qui représentent ces forces (2).

Prenons dans le même plan un point O que nous appellerons pôle du polygone des forces et projetons de ce pôle les sommets du même polygone; désignons par (r^) le rayon projetant de O le sommet commun aux deux côtés r et s. Le polygone funiculaire correspondant au pôle O est un polygone dont les sommets sont sur les lignes d'action (que nous appellerons 1.2. . .n) des forces Pi, P2, . .P/i, et dont les côtés sont respectivement parallèles aux rayons issus de O (3), de façon que le côté compris entre les lignes d'action des deux forces P^ et P^, est parallèle au rayon O (r^); nous le désignerons pour cela par le symbole (rs).

Le polygone funiculaire sera fermé aussi bien que le polygone des forces.

1° Cas des forces concourantes, — Si les lignes d'action des forces concouraient en un même point {fig- i ), nous aurions deux diagrammes réciproques, car les deux polygones pourraient être

(') ÉquipoUents, c'est-à-dire égaux en grandeur, ayant la même direction et le même sens. Cette expression est empruntée à Bellavitis.

(^) La position du premier côté de ce polygone est, du reste, tout à fait arbitraire.

C) La direction seule du premier côté de ce polygone est déterminée.

considérés comme les projections orthographiques de deux pyramides ayant chacune un angle polyèdre à n faces.

Si les forces sont parallèles, le polygone des forces se réduit à une droite, ce qui correspond au cas où la base de la première pyramide est perpendiculaire au plan orthographique, et où le sommet de la seconde est à l'infini, ce qui revient à dire que le second polyèdre est un prisme ayant une seule base à distance finie. Ce cas est représenté par la Jig-. 2, dans laquelle les côtés du polygone des forces sont désignés non pas par un seul nombre, mais par deux nombres placés aux deux extrémités de chacun des segments; ainsi les segments 01, 12, 28, 34,... correspondent aux droites 1, 2, 3, 4 du second diagramme.

Ici, comme dans la suite, nous adopterons dans le texte deux séries de numéros i, 2, 3. . .r. . .5. . . ; 1, 2, 3. • .r. . .S. • . pour distinguer les lignes d'un diagramme des lignes correspondantes de l'autre.

1^ Cas des forces quelconques, — Examinons maintenant le cas général dans lequel les forces ne concourent pas en un même point.

Prenons un second pôle O'^ joignons-le par des droites aux sommets du polygone des forces et construisons un second polygone funiculaire correspondant à ce nouveau pôle, c'est-à-dire un polygone dont les côtés soient parallèles aux rayons issus de O' et dont les sommets soient situés sur les lignes d'action des forces. Voyez les Jig. 3 et 5 dans lesquelles les rayons issus du second pôle et les côtés correspondants du polygone funiculaire sont représentés en traits discontinus.

En opérant de cette façon, on voit bien clairement que le diagramme formé par le polygone des forces et les rayons projetants issus des points O et O' d'une part, et le diagramme formé par les deux polygones funiculaires et les lignes d'action des forces, d'autre part, sont deux figures réciproques. Le premier est la projection d'un polyèdre (*) formé de deux angles polyèdres à n faces, dont les faces correspondantes forment par leurs intersections respec-

(*) Ce polyèdre a 3/i arêtes, 2/1 faces triangulaires, 2 angles polyèdres à /i faces et n angles tétraèdres; l'autre polyèdre a 3n arêtes, 2/1 angles trièdrcs, 2 bases qui sont des polygones de n côtés et n faces quadrilatères.

lives un polygone gauche (*) de n côtés; le second est la projection d'un polyèdre compris entre deux polygones plans àen côtés, lels que les côtés de l'un rencontrent les côtés correspondants de l'autre.

X. — Les points de rencontre des côtés correspondants de deux polygones funiculaires sont sur une ligne droite parallèle à la ligne des pôles.

La droite qui, dans l'espace, réunit les sommets des deux angles solides à n faces du premier polyèdre est conjuguée de la droite, intersection des deux plans de base du second polyèdre. Il résulte de là et de la propriété qu'ont deux droites conjuguées de se projeter orthographiquement suivant deux droites parallèles, que deux côtés correspondants quelconques (rs), (rs)' des deux polygones funiculaires, se coupent sur une droite fixe, parallèle à celle qui réunit les deux pôles O et 0^

Ce théorème est fondamental dans la méthode de Culmakn.

XI. — Cas où les deux pôles des polygones funiculaires coïncident.

Si nous faisons coïncider les pôles O et O', les côtés correspondants des deux polygones funiculaires sont parallèles {fig* 4)-

Dans ce cas la droite qui joint les sommets des angles solides des deux polyèdres est perpendiculaire au plan orthographique, tandis que les bases du second polyèdre sont parallèles.

XII. — Résultante d'un nombre quelconque de forces consécutives

d'un système donné.

1° La diagonale qui joint les sommets de deux angles tétraèdres du premier polyèdre (n® IX, § 2"), ou, ce qui est la même ehose, la diagonale qui joint deux sommets du polygone gauche, est conjuguée de l'intersection des faces quadrilatères correspondantes du second polyèdre, laquelle réunit le point commun à deux côtés de l'une des bases, au point commun aux deux côtés correspondants de l'autre base. En projection orthographique, la première

(') Il est évident de soi-même que, si ce polygone devient une courbe continue, le polygone des forces et les polygones funiculaires deviennent la courbe des forces tl les courbes funiculaires d*un système continu (plan) de forces.

droite est une diagonale passant par deux sommets (r.r-+-i), (s.s-\-i) du polygone des forces, c'est-à-dire une droite équivalente à la résultante des forces Pr+i, Pr+21 •••? Pj', la seconde droite est la ligne d'action de la même résultante.

Donc la ligne d'action de la résultante d'un nombre quelconque deforcesconsécutivesPr+4,Pr-f2, • • • ,P^, passe parle point commun aux côtés (r^r + l)(s, S-h 1) du polygone funiculaire : autre théorème fondamental de la Statique graphique. \^Voyez comme exemple {Jig> 3) la résultante des forces 6, i, 2].

2° Si la diagonale considérée du premier polyèdre est perpendiculaire au plan orthographique, la droite conjuguée est à l'infini. Alors, deux sommets du polygone des forces (r,r -f- i), (5, 5 -H i ) coïncident en un même point A {voir la Jig, 5, dans laquelle r = I, 5 = 4) et les côtés (r, r-h 1), (s,S-|- 1) de chacun des polygones funiculaires sont parallèles.

La résultante des forces, Pr+n • • • , Pr+2» • • • > Pj a donc une grandeur infiniment petite et sa ligne d'action est la droite à Tinfini du plan orthographique : c'est par conséquent une force infiniment petite, située à l'infini, équivalente à un couple de forces agissant suivant les côtés parallèles précités du polygone funiculaire et représentées en grandeur par la droite qui joint le pôle correspondant O au point A. Comme ces deux forces sont équivalentes au système des forces Pr|«,Pr+2? ••v P^? celle qui agit suivant le côté (r, r -4- 1) est dirigée de A vers O ; et celle qui agit le long du côté (s,S + 1) est dirigée de O vers A.