XVIII. — Cas où toutes les forces sont parallèles

Si les forces externes sont toutes parallèles entre elles, comme cela arrive assez fréquemment dans la pratique, le bord de S sera un polygone contenu tout entier dans un plan perpendiculaire au plan orthographique; et alors les côtés du polygone des forces externes seront tous situés sur une seule et même ligne droite.

XIX. — Autres cas particuliers offrant des diagrammes dégénérés.

Les diagrammes peuvent être formés de figures polygonales dégénérées provenant de dégénérations analogues des figures de l'espace.

Supposons, par exemple, que Ton ait dans l'espace un angle solide tétraèdre, auquel correspondra, dans la figure réciproque, une face quadrilatère; que deux arêtes {non opposées) de Tangle solide aillent en se rapprochant indéfiniment l'une de Taulre jusqu'à ce qu'elles se confondent. L'angle solide tétraèdre sera remplacé par un système composé d'un angle trièdre et d'un plan passant par l'une de ses arêtes; et par conséquent la face quadrilatère delà figure réciproque aura deux côtés, iqui, tout en ayant un sommet commun, seront superposés et dirigés, soit dans le même sens, soit en sens contraire.

En passant des figures de l'espace à leurs projections orthographiques, on aura dans l'un des diagrammes un point d'où partiront

quatre droites, dont deux seront superposées, et dans l'autre un quadrilatère ayant trois sommets en ligne droite (*).

ZZ. — Calcul graphique des travures réticulaires. Ordre cyclique. Construction des diagrammes.

Étant donnés le dessin d'une travure rétieulaire et le système de forces externes, il faut, avant tout, construire le polygone de ces forces, c'est-à-dire un polygone dont les côtés soient équipoUents aux forces externes. Dans les figures, jointes au présent opuscule, les forces externes et les côtés du polygone sont indiqués par les numéros 1, 2, 3,...^ de telle sorte qu'en parcourant le contour du polygone dans l'ordre croissant des numéros chacun des côtés soit parcouru dans le sens delà force qu'il représente. Cette façon de parcourir le polygone s'appellera Vordre cyclique du contour.

Lorsqu'on veut construire le diagramme réciproque de celui qui est formé par les barres de la travure et par les lignes d'action des forces externes, Tordre dans lequel on doit considérer les forces n'est pas arbitraire; cet ordre peut se déterminer par les considérations suivantes :

Dans le polygone des forces externes, qui fait partie du diagramme b, les côtés équivalents à deux forces seront adjacents, lorsque les lignes d'action de celles-ci appartiendront au contour d'un même polygone du diagramme a, car ce polygone correspond au sommet qui est commun à ces deux côtés.

On donnera donc l'indice 1 à Tune quelconque des forces externes; la ligne d'action de la force choisie d'avance est un côté commun à deux polygones du diagramme a; chacun de ceux-ci possède dans son propre contour la ligne d'action d'une autre force externe; ces deux forces externes peuvent donc être regardées comme contiguës à la force 1 et il sera indifférent d'attribuer à l'une ou à l'autre l'indice 2; mais alors l'autre aura l'indice n, si n est le nombre des forces externes.

(*) On peut voir des exemples de ces formes dégénérées à la page 44} et dans les deux premières planches du Mémoire déjà cité du professeur Fleeaii:<g-Jenkin; 1869, et dans Isijig. 9 de nos planches.

Ceci posé, il ne reste plus rien d'arbitraire dans l'ordre dans lequel on devra disposer les côtés du polygone des forces externes.

Supposons que les nœuds, auxquels sont appliquées les forces externes, se trouvent tous sur le contour du dessin de la travure (*), ces forces devront être prises dans l'ordre dans lequel on les rencontre en parcourant le contour. Quand bien même on ne suivrait pas ces règles, et celles que nous avons indiquées plus haut, on pourrait encore déterminer graphiquement les forces internes, mais on n'aurait plus deux diagrammes réciproques, et les, figures seraient plus compliquées, puisqu'un même segment, ne se trouvant plus à sa place, devrait être répété ou reporté ailleurs en vue des constructions ultérieures (2); cela arrivait du reste avec l'ancienne méthode, consistant à construire séparément aulant de polygones des forces qu'il y avait de nœuds dans la travure.

Le polygone des forces externes une fois construit, on complète le diagramme b, en construisant successivement les polygones qui correspondent aux différents nœuds de la travure.

Le problème qui consiste à construire un polygone dont les côtés aient des directions données est déterminé toutes les fois que deux de ses côtés seulement sont inconnus. C'est pour cela que l'on devra commencer par un nœud par lequel passent seulement trois droites : les lignes de résistance de deux barres et la ligne d'action d'une force externe. Le segment équipollent à cette force sera un côté du triangle correspondant à ce nœud, et par conséquent on pourra construire le triangle.

La construction ne présentera aucune ambiguïté, si l'on se souvient qu'à une barre de la travure qui appartient au contour d'un polygone du diagramme a, en même temps que les lignes d'action de deux forces externes, correspond dans le diagramme b une

(•) Le contour de certaines travures (ponts) est composé de deux systèmes de barres, l'un supérieur, l'autre inférieur. Les barres qui réunissent les nœuds de l'un des systèmes à ceux de l'autre s'appellent étrésillons ou bracons, lorsque, en les considérant comme dirigées de haut en bas, elles sont inclinées de gauche à droite et contre-étrésillons ou contre-bracons lorsqu'elles sont inclinées en sens contraire. Nous appellerons poinçons les étrésillons verticaux.

(') Pour cette raison, les fig. i et 3 de la PI. JCVI de l'atlas de la Statique graphique, de Culmans, ne sont pas réciproques, et il en est de même des /Ig. 7 et 7j de la PI. XIX, etc.; au contraire, les diagrammes 168 et 169 de la page 422 (1" éd.) du texte sont parfaitement réciproques, etc.

droite passant par le sommet commun aux côtés équivalents à ces deux forces.

On passera successivement aux autres nœuds de façon que, pour chaque nouveau polygone à construire, on n'ait que deux côtés inconnus.

Dans les figures que nous présentons, toutes les lignes de chacun des diagrammes sont accompagnées de chiffres indiquant l'ordre dans lequel on a fait les opérations.

« Ces figures peuvent^ être dessinées en quelques minutes, tandis que l'évaluation algébrique des réactions, quoique n'offrant aucune difficulté mathématique, est singulièrement propre à. devenir une cause d'erreurs, par suite de la complexité même des notations (i). »