XXI. — Cas d'indétermination et d'impossibilité

Une étude superficielle pourrait faire croire possible et déterminée la solution du problème, même dans des cas où il n'existe dans la travure (^) aucun nœud auquel viennent aboutir trois droites seulement.

Supposons, par exemple, que le dessin de la travure soit formé par les côtés 5. 6.7. 8 d'un quadrilatère et par les droites 9.10.11.12, qui joignent ses sommets à un cinquième point et que chacune des forces externes 1.2.3. 4, soit appliquée aux sommets (8. 5.9.), (5. 6. 10), (6. 7. 11), (7. 8. 12) du quadrilatère (3). Construisons le polygone des forces externes i. 2. 3. 4 et par chacun des points (i. 2), (2. 3), (3. 4)> (4« menons les droites indéfinies 5. 6. 7. 8.

Le problème revient maintenant à construire un quadrilatère dont les côtés 9. 10. 11. 12 soient respectivement parallèles aux

(*) « The figure can be drawn in five minutes, where as the algebraic computation of the stresses, though ofTering no mathematical difficulty, is singularly apt from mère complexity of notation, to resuit in error. » Ainsi s'exprime le professeur Fleeming-Jknkin, à la page 44^ du volume déjà cité des Transactions d'Edimbo urg .

(^) Supposée triangulaire, comme partout dans cet écrit : voir V Appendice, § IX et XIV.

(^) Ces considérations seraient encore vraies si la travure était formée d'un polygone quelconque et des droites qui en joindraient les sommets à un point fixe.

Nous n'avons pas construit les figures relatives à ce paragraphe, car le lecteur pourra y suppléer facilement.

lignes homonymes du diagramme donné, et dont les sommets (9. 10), (10. Il), (11. 12), (12. 9) se trouvent respectivement sur les droites 5, 6, 7, 8. Le problème qui consiste à construire un quadrilatère dont les côtés aient des directions données (ou passant par des points donnés d'une même droite), et dont les sommets se trouvent sur des droites fixes, admet, en général, une solution et une seule. On pourrait donc croire, au premier abord, que le diagramme des forces est parfaitement déterminé.

Maison voit bien vite qu'il n'en est rien, si l'on se rappelle que ce problème de Géométrie offre certains cas d'impossibilité et d'indétermination. En effet, supprimons l'une des conditions, et n'assujettissons le quadrilatère qu'à avoir ses côtés parallèles à des directions données, et ses trois premiers sommets, sur les droites données 5, 6, 7^ alors le quatrième sommet décrira (*) une droite r; le point de rencontre de cette droite avec la droite donnée 8, étant pris comme quatrième sommet, devrait donner la solution du problème.

Maintenant, si les données de la question sont telles que r est parallèle à 8, nous arrivons à une impossibilité ; et si nous nous plaçons dans l'hypothèse encore plus particulière où r viendrait se confondre avec 8, le problème est indéterminé et l'on a une infinité de quadrilatères satisfaisant aux conditions du problème.

Pour être parfaitement convaincu que, dans la construction du diagramme réciproque du diagramme donné, on se trouve en présence, soit d'une indétermination, soit d'une impossibilité, il suffit de réfléchir que, si l'on considère le diagramme donné comme étant le polygone des forces dont les grandeurs sont représentées parles segments 5. 6. 7, 8, le pôle de ce polygone étant le point (9. 10. 11. 12), la figure cherchée (9. 10. 11. 12) n'est autre que le polygone funiculaire correspondant; or, pour que la construction du polygone funiculaire soit possible, il est nécessaire que les forces soient en équilibre : si donc on suppose données les grandeurs 5, 6, 7, 8 de ces forces et les lignes d'action 5, 6, 7 de trois d'entre elles, la ligne d'action de la quatrième est parfaitement déterminée et n'est autre que la droite r dont nous avons déjà parlé. Donc si r et 8 ne coïncident pas, les forces fictives

(') PoNCELET, Traité des propriétés projectiles ; Paris, 1822, n* 500.

5, 6, 7, 8 ne sont pas en équilibre, mais sont équivalentes à une force infiniment petite située à l'infini, et le problème est impossible; si, au contraire, r et 8 coïncident, c'est-à-dire si les forces fictives sont en équilibre, le problème est indéterminé, puisque, pour un système de forces et pour un pôle donnés, on peut construire une infinité de polygones funiculaires (n** XI).

Dans le premier de ces deux cas, on obtiendrait l'équilibre en adjoignant aux forces 5, 6» 7, 8, une force égale et contraire à leur résultante infiniment petite, située à l'infini, c'est-à-dire en considérant le polygone 5.6.7.8, non pas comme la projection d'un quadrangle, mais bien d'un pentagone dont deux sommets consécutifs se projeteraient en un même point (7.8.12). Alors la droite 12 serait la projection de deux droites distinctes de l'espace, et par conséquent dans le diagramme réciproque, au point (6,10,11,12) correspondrait un pentagone ouvertg. lo. ii.i2. 12' ayant ses sommets (9. 10), (10. ii),(ii . i2),(ia'.9) situés respectivement sur les droites 5,6,7,8 et son sommet (12.12') à l'infini.

XXII. — Détermination des barres tendues et des barres comprimées.

Chaque barre rectiligne de la travure est la ligne d'action de deux forces égales et opposées, appliquées respectivement aux deux nœuds ou sommets que réunit la barre considérée. La grandeur commune de ces forces, c'est-à-dire la mesure de l'eflbrt qu'elles exercent sur la pièce, est donnée par la longueur de la droite correspondante du diagramme b. Ces deux forces peuvent être considérées comme actions ou comme réactions et, pour passer d'un cas au cas inverse, il suffit de renverser le sens de ces deux forces.

En les considérant comme actions y si elles agissent de leur point d^ application vers Vintérieur de la barre, on dit que celle-ci est pressée ou comprim,ée; si elles agissent au contraire vers V extérieur y la barre est dite tendue ou soumise à Vextension.

Toute pièce soumise à la compression s'appellera arbalétrier \ toute pièce soumise à l'extension s'appellera tirant (*).

(') Dans les figures qui se trouvent à la fin de cet Opuscule, les tirants sont dessinés en lignes plus déliées que celles qui représentent les arbalétriers. Dans

Chaque nœud de la travure est le point d'application d'un système de trois forces, au moins, en équilibre; l'une de celles-ci peut être une force externe, toutes les autres étant les réactions qui se développent dans les pièces qui viennent concourir au sommet considéré. Il suffira de connaître le sens de Tune des forces du système pour obtenir le sens de toutes les autres. Or deux cas peuvent se présenter :

Si une force externe est appliquée au sommet considéré, et si l'on parcourt le côté correspondant dans le sens de cette force, chacun des autres côtés du polygone des forces sera parcouru dans le sens qui convient à la force interne correspondante, considérée comme réaction appliquée au sommet considéré. Si, au contraire, on désire avoir le sens dans lequel agissent les forces internes considérées comme actions, il suffira de renverser le sens de la force externe.

Si des forces internes seules sont appliquées au nœud considéré, il suffira de connaître le sens de l'une d'elles pour obtenir par le même procédé que ci-dessus le sens de chacune des autres.

On appelle ordre cyclique du contour d'un polygone du diagramme b celui qui correspond aux forces internes considérées comme actions.

On voit donc que, en commençant par un sommet auquel se trouve appliquée une force externe, on peut arriver à déterminer successivement la grandeur et le sens de toutes les forces internes. En considérant l'une des forces internes comme action appliquée à l'un des xleux sommets entre lesquels elle agit, on reconnaîtra bien vite si la barre comprise entre les mêmes sommets est comprimée ou tendue.

(chacune des droites du diagramme b est un côté commun à deux polygones; en parcourant le contour de ceux-ci dans leur ordre cyclique respectif, ce côté sera parcouru une fois dans un sens et une autre fois en sens contraire (^).

les figures de Culmakn et de Reuleadx, les arbalétriers sont figurés par les lignes doubles et les tirants par des lignes simples.

(•) Cette propriété est en concordance avec celle appelée Loi des arêtes (Kantengesetz) dans les polyèdres possédant une surface interne et une surface externe. Voyez Monius, Ueber die Bestimmung des Inhalts eines Polyeders (dans les Berichte de la Société des Sciences de Leipzig, i865, p. 33 et' suivantes), et Baltzer, Stereometria, p. 147 de la traduction italienne, 2* édition; Gènes, 1877.

Cela tient à ce que la droite considérée représente deux forces égales et opposées agissant le long de la barre correspondante de la travure.