PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES GAUCHES DE FORCES

I. -^ Représentation et transformation d'un système quelconque de forces.

§ 1 . Un système de forces qui n'est pas en équilibre et auquel on ne peut pas substituer une résultante unique finie ou infiniment petite située à l'infini peut être donné sous la forme (R, M). Dans cette expression, R désigne en même temps l'axe central considéré comme une droite indéfinie, suivant laquelle agit la résultante de translation du système et la portion limitée de cet axe qui représenterait la grandeur de cette résultante ; enfin M représente simultanément le couple résultant (force infiniment petite située à l'infini) de moment minimum et la droite à l'infini du plan perpendiculaire à R, dans lequel ce couple est situé. Graphiquement, on peut représenter ces deux éléments par deux segments de l'axe central, dont l'un donnerait la résultante finie R en

(') Le Mémoire de M. Cremona commence (§1) par ces mots : « C'est une théorie bien connue que celle des figures réciproques dans l'espace, théorie qui découle soit de la considération d'un système de forces appliquées à un corps rigide et libre, soit des propriétés géométriques du déplacement d'un corps, soit encore de l'étude des cubiques gauches ou des complexes de droites du premier degré, etc. »

Dans ces quelques pages, on exposera précisément cette théorie, en la réduisant à ce qui est strictement nécessaire à l'intelligence de l'Opuscule sur les Figures réciproques. Le caractère de cet Opuscule et le désir de ne pas dépasser les justes limites d'une Introduction m'ont engagé à déduire la théorie des propriétés bien connues d'un système gauche de forces, plutôt que d'autres théories moins connues dans les écoles. J. Jung.

Les Fig, récipr. a.

grandeur, direction et sens, et dont l'autre, considéré comme axe du couple, donnerait en grandeur, direction et sens, la résultante infiniment petite située à Tinfini (*).

Proposons-nous de transformer le système donné (R, M) en un autre équivalent^ composé de deux forces, dont l'une agisse le long d'une droite donnée arbitrairement.

Trois cas peuvent se présenter, suivant que la ligne d'action donnée est parallèle à Taxe central, qu'elle ne lui est pas parallèle ou qu'elle est située tout entière à l'infini.

(a). La ligne d'action donnée est une droite R' parallèle à Vaxe central.

Transportons la force R parallèlement à elle-même sur la droite R', ce qui se fait en la décomposant en deux autres, dont la première est une force R' ayant même grandeur, même direction et même sens que R, et dont la seconde est une force M'', infiniment

( * ) On sait, en efifet, qu'un système de forces, qui n'est pas en équilibre et qui n'admet pas de résultante unique, peut être remplacé par deux forces : l'une finie, appelée résultante de translation, dont la direction est fixe et indépendante du point que l'on a choisi pour opérer la réduction ; l'autre appelée couple résultant, qui peut être considérée comme une force infiniment petite, située à Tinfini dans un plan dont la position est absolument dépendante du centre de réduction. Le plan de cette dernière force est, en général, oblique par rapport à la ligne d'action de la résultante de translation.

Je dis que l'on peut toujours remplacer le système que nous venons de définir par un autre, dans lequel le plan du couple résultant est perpendiculaire à la résultante de translation.

Soit R la résultante de translation donnée qui passe par le point O, et a le plan du couple résultant. Par le point O, menons un plan u perpendiculaire à la direction de R qui coupe les deux forces F et — F du couple résultant en deux points A et B. En chacun de ces points, décomposons chacune des composantes du couple en deux autres forces, l'une normale au plan w et, par conséquent, parallèle à R; l'autre située dans le plan co. Les deux composantes parallèles à R se composeront avec cette force et détermineront la position de la résultante de translation, pour laquelle le plan du couple résultant lui est perpendiculaire.

Cette position de la résultante jouit de propriétés remarquables, et on lui a donné le nom à^axe central.

Il convient de remarquer que le moment du couple résultant correspondant à l'axe central est minimum.

petite, située à l'infini, déterminée par le triangle O.R, qui projette R d'un point quelconque O de R' (triangle dont la surface est égale à la moitié du moment du couple M'') ; composons ensemble les forces M et M'', et soit M' leur résultante. Nous aurons ainsi la série suivante de systèmes équivalents :

Le système a donc été transformé en un autre composé dé deux forces, dont l'une est finie et agit le long de la droite donnée R'. L'autre M' est infiniment pçtite et est située à l'infini : je dis qu'elle est parfaitement déterminée. En effet, supposons que deux systèmes de forces (Ro, M©) et (R', M') dont les résultantes finies R© et R' agissent suivant la même droite R' parallèle à l'axe central soient équivalents; les quatre forces R', M', — R©, — Mo seront en équilibre, et M© sera la résultante des forces (R' — Ro) et M'. Cela ne peut avoir lieu qu'autant que Rq et R' sont identiques, car une force finie et une force infiniment petite située à l'infini ne sauraient avoir pour résultante une force infiniment petite située à l'infini.

(6). La ligne d'action donnée est une droite a, non parallèle

à Vaxe central.

D'un point quelconque O de la droite a, menons la parallèle R' à Taxe central, et transformons d'abord le système donné en un autre composé de deux forces, dont l'une agisse le long de la droite R'; cela se fera, comme nous l'avons dit précédemment (a), en déterminant la force M', de telle sorte que

(R,M)^(RMVI').

Supposons que le plan de la force M' (qui n'est autre qu'un plan [x' ayant pour droite à l'infini la droite M') rencontre le plan a ^ àW suivant la droite «o, et menons par le point O la droite d^ parallèle à a^\ enfin, décomposons la force R' en deux

autres forces agissant le long des droites a et d! . La force ci! étant, par construction, parallèle au plan [jl^, peut ensuite se composer avec la force infiniment petite située à l'infini M'; le résultat de cette composition sera une force finie ci équivalente à cP ^ mais ne passant plus par le point O.

On a donc ainsi la série des systèmes équivalents,

Le système se réduit donc à deux forces finies a, ci qui ne sont pas situées dans un même plan, et dont Tune a pour ligne d'action la droite donnée a. Je dis, de plus, que la force ci est parfaitement déterminée par le choix de la droite a.

En efiet, supposons que deux systèmes de forces x, cd et a, a', dont les forces ^ et a ont pour lignes d'action la même droite a, soient équivalents ; les quatre forces a, a', — x^ — x^ seront en équilibre et, par conséquent, x^ sera la résultante des forces ci et (a — x). Cela ne peut avoir lieu que si x^ est identique à a' et ^ identique à a \ car, s'il en était autrement, les droites ci et a, qui sont les lignes d'action des forces, se rencontreraient en un point de x', ce qui est contraire à l'hypothèse.

Corollaire. — Les droites a et ci sont parallèles à un même plan a ^ (R', a, d!^ parallèle à Vaxe central.

Observation, — La solution devient illusoire lorsque la droite a se confond avec a", c'est-à-dire lorsqu'elle est parallèle au plan [x' {voir n^ V).

(c). La ligne d'action donnée est la droite à Vinfini W d''un plan arbitraire \iJ.

Décomposons l'axe m de M en deux autres, l'un m! perpendiculaire à [x'j l'autre ni' perpendiculaire à R ; la force M peut être décomposée en deux autres, correspondant chacune à l'un des axes m! et ni' : l'une des composantes M' est située dans un plan

parallèle au plan donné [jl', l'autre M" est située dans un plan parallèle à l'axe central. En composant cette dernière force avec la force finie R, nous obtenons, comme résultante, une force finie R' équivalente à R; nous avons donc la série des systèmes équivalents

Le système donné se réduit donc à deux forces, dont Tune est infiniment petite et située à l'infini et a pour ligne d'action la droite à l'infini M' d'un plan donné [jl'; l'autre, R', est finie et parallèle à l'axe central : je dis, en outre, qu'elle est parfaitement déterminée.

En effet, supposons que deux systèmes de forces (Ro,Mo) et (R', M'), dont les composantes Mq et M' se trouvent à l'infini dans un même plan [x', soient équivalents. Les quatre forces R', M', — Ro, — Mo seront en équilibre, et R© sera la résultante des forces R' et (M' — Mo). Gela ne peut avoir lieu qu'autant que Ro est identique à R' et M© à M'; car, s'il en était autrement, R' serait parallèle au plan [jl' et pourrait se composer avec M'; le système (R',M') serait donc réductible à une seule force, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Observation, — Si le plan donné [jl' est parallèle à l'axe central, la solution devient par le fait illusoire, puisque ml et m!' deviennent parallèles. Donc le problème est impossible pour les droites M' situées dans le plan à l'infini et passant par le point à l'infini de l'axe central.

II. — Forces et droites conjuguées ou réciproq[ues ; pôles et plans polaires.

§ 1. Les résultats du § I peuvent se résumer dans l'énoncé suivant :

Un système de forces qui n'est pas en équilibre et qui n'est pas réductible à une résultante unique (^) peut, d'une inanité

( ' ) Finie ou infiniment petite et située à l'infini.

de manières, se ramener à deux forces qui seront ou toutes deux finies et situées dans des plans différents, ou dont Vune sera finie, Vautre étant infiniment petite et située à l'infini; la ligne d'action de Vune de ces forces pourra, en général, être choisie arbitrairement; nous disons, en général, parce qu'il existe des droites singulières le long desquelles ne peut agir aucune force {voir n° V).

Deux forces équivalentes au système donné sont dites conjuguées, et les droites qui en sont les lignes d'action s'appellent conjuguées ou réciproques, parce que, l'une d'elles étant donnée, l'autre est parfaitement déterminée.

Les droites parallèles à l'axe central, par exemple^ sont les conjuguées aux droites à l'infini.

§ 2. Soient deux paires de forces conjuguées aa'y bb^; supposons que les deux forces a et 6 soient situées dans un même plan [x et se coupent en un point S. Les systèmes {a, a') et (6, è') étant équivalents, les quatre forces a, a', — 6, — b' sont en équilibre; les forces a et — b étant dans un même plan [jl auront une résultante unique — d; par conséquent, les trois forces — rf, a', — b' seront aussi en équilibre et d sera la résultante des forces a' et — b' : donc, les droites a', b\ d seront dans un même plan o- passant par S, et concourront en un point M de [jl (point commun à[JietaO(«).

Supposons invariables les droites a et a' et faisons mouvoir b dans le plan fixe [jl, la droite conjuguée 6' passera constamment par le point M qui est resté invariable ; donc ;

Les droites réciproques de celles d'un plan [jl passent par un point déterminé M du même plan.

(•) Si M ou S ou M et S sont à Finfini, la démonstratioa ne subit que de légères et faciles modifications.

En d'autres termes ;

Les forces situées dans un même plan sont conjuguées aux forces concourant en un point déterminé du même plan; et les forces concourant en un même point sont conjuguées aux forces situées dans un certain plan passant par le point donné.

§ 3. Ainsi, au moyen d'un système de forces données, non en équilibre et qui ne peut pas être réduit à une résultante unique finie ou infiniment petite située à TinGni, nous sommes arrivés à établir une correspondance réciproque bien déterminée entre les plans et les points de l'espace : à un plan quelconque correspond un point unique situé dans ce plan, et à un point quelconque correspond un plan passant par ce point. Le point et le plan correspondant s'appelleront l'un pôlcj l'autre /?/a/i polaire.

Pour trouver le pôle d\in plan \k ou le plan polaire d\in point M, il suffit de choisir une droite a située dans le plan [jl ou passant par le point M et d^en chercher la réciproque a' (n^ I); dans le premier cas, le point ([jl, a')^ dans le second, le plan (M, a') résolvent le problème. S^ il arrivait que la droite a fût une droite singulière (n^ II, § 1), o/i devinait recommencer la construction en se donnant, au lieu de a, une autre droite située dans le plan ou passant par le point.